Størrelsesorden

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 18. juni 2020; checks kræver 7 redigeringer .

En størrelsesorden er en klasse af ækvivalens af mængder (eller skalaer), der udtrykker bestemte mængder, inden for hvilken alle mængder har en fast relation til de tilsvarende mængder i den foregående klasse. ${\mathcal {C}}_{n}$ ${\mathcal {C}}_{n}=\lbrace {}x_{n}\rbrace$ $r={\frac {x_{n}}{x_{{n-1}}}}$

Oftere er det ikke meningen, at rækkefølgen skal betyde selve ækvivalensklassen, men nogle af dens numeriske karakteristika, der definerer denne klasse under givne betingelser (for eksempel klassens ordensnummer , forudsat at en eller anden klasse var specificeret eller underforstået). ${\mathcal {C}}_{n}$ $n$ ${\mathcal {C}}_{0}$

Nummerrækkefølge

Når man arbejder med tal repræsenteret i et bestemt talsystem baseret på , oftest tage og , . Samtidig falder det sammen med antallet af cifre i et tal, hvis det er skrevet i et positionstalsystem . $b$ $r=b$ $1\in {\mathcal {C}}_{1}$ $b\in {\mathcal {C}}_{2}$ $n$

For eksempel, for decimaltalsystemet i dette tilfælde, vil hvert årti af positive tal kun tilhøre én ordre:

${\mathcal {C}}_{1}\supset \lbrace {}1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace$
${\mathcal {C}}_{2}\supset \lbrace {}10,20,30,40,50,60,70,80,90\rbrace$
${\mathcal {C}}_{3}\supset \lbrace {}100,200,300,400,500,600,700,800,900\rbrace$

På samme måde kan du bestemme rækkefølgen af numre for andre baser i talsystemet. Oftest overvejet

grundrækkefølger af tal , $b=10$
basisordrer $b=2$
grundrækkefølger af tal . $b=e$

Nummerrækkefølge i naturligt sprog

I naturlige sprog er der udtryk som "en størrelsesorden mere", "mange størrelsesordener mere", "et par størrelsesordener mindre". I de fleste tilfælde er decimaleksponenter underforstået, det vil sige, at disse udtryk kan læses som "omkring ti gange mere", "omkring en gange mere, hvor er stort nok", "omkring 100 gange mindre". Også den fejlagtige brug af udtrykket "af rækkefølgen af N", hvor N er et vist tal, er blevet udbredt for nylig. Samtidig er det ud fra sammenhængen klart, at der menes "om N", hvilket naturligvis ikke svarer til definitionen af begrebet "nummerrækkefølge". $10^{n}$ $n$

Talrækkefølge og logaritmisk funktion

De tilsvarende tal, der tilhører tilstødende ordrer , kan skrives som , hvor er det første af tallene. Denne egenskab bestemmer forbindelsen mellem begrebet rækkefølgen af et tal og den eksponentielle og inverse logaritmiske funktion . ${\mathcal {C}}_{{n}},{\mathcal {C}}_{{n+1}},{\mathcal {C}}_{{n+2}},\ldots ,{ \mathcal {C}}_{{n+d}}$ $x,rx,r^{2}x,\ldots ,r^{d}x$ $x\in {\mathcal {C}}_{{n}}$

Især ved at bruge begrebet en logaritmisk funktion kan der formuleres en nødvendig betingelse for, at tal hører til samme orden: Lad nogle opdelinger i ordener gives på mængden af positive tal. Hvis to tal er af samme rækkefølge, så . $\left|\log _{r}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}\right|<1$

Bevis

Faktisk, lad tallene og være det minimum og maksimum antal, der hører til ordren . Hvis tallet også hører til ordren , skal dets værdi opfylde betingelsen . Samtidig hører tallene og til ordrer, der støder op til ordren og hhv . Det følger heraf, at for ethvert tal i denne rækkefølge gælder forholdet . $m\in {\mathcal {C}}_{n}$ $M\in {\mathcal {C}}_{n}$ ${\mathcal {C}}_{n}$ $x\in {\mathcal {C}}_{n}$ ${\mathcal {C}}_{n}$ $m\leq x\leq M$ $rm$ ${\frac {1}{r}}M$ ${\mathcal {C}}_{n}$ ${\mathcal {C}}_{{n+1}}$ ${\mathcal {C}}_{{n-1}}$ $x$ ${\frac {1}{r}}M<m\leq x\leq M<rm$

Lad to tal og hører til den givne rækkefølge . Så . $x_{1}$ $x_{2}$ ${\mathcal {C}}_{n}$ $-1=\log _{r}{\frac {m}{rm}}<\log _{r}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}<\log _{r}{ \frac {M}{{\frac {1}{r}}M}}=1$

Ordreforskel

Hvis to tal og hører til ordenerne og i nogle opdeling af positive tal i ordener, så kaldes værdien undertiden forskellen i rækkefølgen af disse tal. $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}\in {\mathcal {C}}_{{n_{1}}}$ $x_{2}\in {\mathcal {C}}_{{n_{2}}}$ $d=d(x_{1},x_{2})=n_{2}-n_{1}$

For to numre og forskellen mellem deres ordrer kan findes som for . $x_{1}$ $x_{2}$ $d=\venstre\lgulv \log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\højre\rgulv$ $x_{2}\geq x_{1}$

Bevis

Vi vælger et nummer , der hører til ordren og svarer til et nummer fra ordren . Ved definitionen af orden eksisterer der et heltal , således at . Det får vi . $x_{2}^{{\mathord {*}}}\in {\mathcal {C}}_{{n_{1}}}$ ${\mathcal {C}}_{{n_{1}}}$ $x_{2}$ ${\mathcal {C}}_{{n_{2}}}$ $d$ $x_{2}^{{\mathord {*}}}=r^{{-d}}x_{2}$ $\log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}=\log _{r}{\frac {r^{d}x_{2}^{{\mathord {*} }}}{x_{1}}}=d+\log _{r}{\frac {x_{2}^{{\mathord {*}}}}{x_{1}}}$

Tallene og tilhører samme rækkefølge og derfor . Samtidig er tallet et heltal, hvilket betyder . $x_{1}$ $x_{2}^{{\mathord {*}}}$ $\log _{r}{\frac {x_{2}^{{\mathord {*}}}}{x_{1}}}<1$ $d$ $d=\venstre\lgulv {}d\højre\rgulv =\venstre\lgulv {}d+\log _{r}{\frac {x_{2}^{{\mathord {*)))}{x_{1 ))}\højre\rgulv =\venstre\lgulv \log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\højre\rgulv$

I tilfælde af en forskel i ordrer tages de nogle gange med et negativt fortegn . $x_{2}\leq x_{1}$ $d(x_{1},x_{2})=-d(x_{2},x_{1})$

Ligheden af rækkefølgeforskellen til nul er en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, at tallene kan tilhøre samme orden.

Generalisering af rækkefølgeforskel

Nogle gange generaliseres begrebet ordensforskel, hvilket fjerner kravet om at tilhøre klassen af heltal og definerer det gennem udtrykket . $d=\log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}$

I denne fortolkning får udtryk som "tal og afviger ikke mere end en halv størrelsesorden" betydning, det vil sige eller . $x_{1}$ $x_{2}$ $\left|\log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right|\leq {\frac {1}{2}}$ ${\frac {1}{{\sqrt {r}}}}x_{1}\leq x_{2}\leq {\sqrt {r}}x_{1}$

Se også

Links

Brians, Paus Størrelsesordener . Hentet 9. maj 2013. Arkiveret fra originalen 22. april 2017. (ubestemt)
Størrelsesorden . wolfram mathworld . Hentet 3. januar 2017. Arkiveret fra originalen 6. januar 2017. (ubestemt)

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk catalansk
I bibliografiske kataloger	GND : 4388665-6