Parvis uafhængighed

I sandsynlighedsteori er et parvis uafhængigt sæt af stokastiske variable  et sæt af stokastiske variable, hvor ethvert par er uafhængigt [1] . Enhver samling af tilfældige variable, der er uafhængige i populationen , er parvis uafhængige, men ikke alle parvise uafhængige samlinger er uafhængige i populationen. Parvis uafhængige stokastiske variable med endelig varians er ikke korrelerede .

I praksis, medmindre det udledes af kontekst, forstås uafhængighed som uafhængighed i det samlede . En sætning af formen " , , er uafhængige stokastiske variable" betyder således, at , , er uafhængige i aggregatet.

Eksempel

Kollektiv uafhængighed følger ikke af parvis uafhængighed, som vist i det følgende eksempel tilskrevet S. N. Bernshtein [2]

Lad de tilfældige variabler og betegne to uafhængige møntkast. Lad os sige, at 1 betyder hoveder, 0 - haler. Lad være  en tilfældig variabel lig med 1, hvis præcis et af de to møntkast resulterede i hoveder, og 0 ellers. Så har triplen følgende sandsynlighedsfordeling :

med sandsynlighed 1/4,
med sandsynlighed 1/4,
med sandsynlighed 1/4,
med sandsynlighed 1/4.

Bemærk, at fordelingen af ​​hver stokastisk variabel individuelt er ens: og . Fordelingerne af ethvert par af disse mængder er også ens: , hvor

Da hver af de parvise fælles fordelinger er lig med produktet af deres respektive marginale fordelinger, er de stokastiske variable parvis uafhængige:

På trods af dette, og er ikke kollektivt uafhængige , fordi . For venstre side er 1/4 og højre side er 1/8. Desuden er enhver af de tre tilfældige variable og er unikt bestemt af de to andre og er lig med deres sum taget modulo 2 .

Generalisering

I det generelle tilfælde, for enhver kan tale om -ær uafhængighed. Ideen ligner: et sæt tilfældige variable er -arno-uafhængige, hvis en delmængde af dets kardinalitet er kollektivt uafhængig. -ær uafhængighed er blevet brugt i teoretisk datalogi til at bevise MAXEkSAT- problemsætningen .

Se også

Links

  1. Gut, A. Sandsynlighed : et kandidatkursus  . - Springer-Verlag , 2005. - ISBN 0-387-27332-8 . s. 71-72.
  2. Hogg RV, McKean JW, Craig AT Introduktion til matematisk statistik  (ubestemt) . - 6. - Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall , 2005. - ISBN 0-13-008507-3 . Bemærkning 2.6.1, s. 120.