Dæksæt (talteori)

I matematik er det dækkende sæt for en sekvens af heltal sættet af primtal , således at hvert medlem af sekvensen er deleligt med mindst ét tal i mængden. Udtrykket "dækkende sæt" bruges kun til eksponentielt voksende sekvenser.

Sierpinski og Riesel numre

Brugen af udtrykket "dækningssæt" er relateret til Sierpinski- og Riesel- numrene . Disse er ulige naturlige tal , for hvilke (Sierpinskis tal) eller (Riesels tal) er sammensatte. $k$ $k2^{n}+1$ $k2^{n}-1$

Siden 1960 har det været kendt, at der er uendeligt mange Sierpinski- og Riesel-numre, men da der er uendeligt mange numre af formen eller for enhver , så er det for at bevise medlemskab i Sierpinski- og Riesel-numrene nødvendigt at kontrollere, at ethvert medlem af sekvensen eller er delelig med primtal for det dækkende sæt. $k2^{n}+1$ $k2^{n}-1$ $k$ $k$ $k2^{n}+1$ $k2^{n}-1$

Disse dækkende sæt er dannet af primtal , der har en kort periode i binær repræsentation . Det kan påvises, at for at opnå et komplet afdækningssæt skal perioden være på mindst 24 cifre.[ klargør ] En periode med længde 24 giver et dækkende sæt , og en periode på længde 36 giver dækkesæt: ; ; og . Riesel-numrene har samme afdækningssæt som Sierpinski-numrene. ${\displaystyle \{\,3,5,7,13,17,241\,\))$ ${\displaystyle \{\,3,5,7,13,19,37,73,\))$ ${\displaystyle \{\,3,5,7,13,19,37,109\,\))$ ${\displaystyle \{\,3,5,7,13,19,73,109\,\))$ ${\displaystyle \{\,3,5,7,13,37,73,109\,\))$

Andre dæksæt

Dækningssæt bruges også til at bevise eksistensen af sammensatte Fibonacci-sekvenser ( prime-fri sekvens ).

Begrebet dækkende sæt kan nemt generaliseres til andre sekvenser. I de følgende eksempler bruges + på samme måde som i regulære udtryk - betyder 1 eller mere. For eksempel betyder 91 + 3 sæt {913, 9113, 91113, 911113...}

Et eksempel er rækkefølgen:

$(82\cdot 10^{n}+17)/9$ eller $91^{+}3$
$(85\cdot 10^{n}+41)/9$ eller $94^{+}9$
$(86\cdot 10^{n}+31)/9$ eller $95^{+}9$

I hvert tilfælde er hvert led deleligt med et af primtallene {3,7,11,13}. Disse primtal danner et dækkende sæt nøjagtigt som for Sierpinski- og Riesel-tallene.

En endnu enklere sag er følgende sekvens:

$(76\cdot 10^{n}-67)/99$ ( n skal være ulige ) eller [Sekvens: 7, 767, 76767, 7676767, 767676767 osv.] $(76)^{+}7$

Det kan vises, at:

Hvis , så (med det passende antal gentagelser) er deleligt med 7. $n=6k+1$ $(76)^{+}7$
Hvis , så er deleligt med 13. $n=6k+3$ $(76)^{+}7$
Hvis , så er deleligt med 3. $n=6k+5$ $(76)^{+}7$

Således har vi et dækkende sæt med kun tre primtal {3,7,13}. Dette blev kun muligt, fordi vi stillede betingelsen om, at n skal være ulige.

Dæksættet findes også i rækkefølgen:

$(343\cdot 10^{n}-1)/9$ eller . ${\displaystyle 381^{+))$

Det kan vises, at:

Hvis , så er deleligt med 3. $n=3^{k}+1$ $(343\cdot 10^{n}-1)/9$
Hvis , så er deleligt med 3. $n=3^{k}+2$ $(343\cdot 10^{n}-1)/9$
Hvis , så nedbrydes til . ${\displaystyle n=3^{k))$ $(343\cdot 10^{n}-1)/9$ $((7\cdot 10^{k}-1)/3)\cdot ((49\cdot 10^{2}k+7\cdot 10^{k}+1)/3)$

Da det kan skrives som , har vi til sekvensen et dæksæt - et dæksæt med et uendeligt antal medlemmer. $(7\cdot 10^{k}-1)/3$ ${\displaystyle 23^{+))$ ${\displaystyle 381^{+))$ ${\displaystyle \{\,3,37,23^{+}\,\))$

Dæksæt (talteori)

Sierpinski og Riesel numre

Andre dæksæt

Links