I kategoriteori er et subobjekt groft sagt et objekt, der er indeholdt i et andet objekt i en kategori. Definitionen generaliserer de ældre forestillinger om delmængde i mængdeteori og undergruppe i gruppeteori. [1] Da den "rigtige" struktur af objekter ikke betragtes i kategoriteorien, er definitionen afhængig af brugen af morfismer, ikke "elementer".
Lad A være et objekt af en eller anden kategori. Har to monomorfier :
u : S → A og v : T → Amed et generelt billede A siger vi at u ≤ v hvis u "passer igennem" v , det vil sige hvis der er en morfisme w : S → T sådan at u = v ∘ w . Lad os definere følgende binære relation:
u ≡ v hvis og kun hvis u ≤ v og v ≤ u .Dette er en ækvivalensrelation på monomorfismer med billede A , lad os kalde dets ækvivalensklasser for subobjekter af A . Monomorfismer med billedet af A og relationen ≤ danner en forudbestilling , men definitionen af et subobjekt sikrer, at subobjekterne af A danner en delvis ordnet mængde .
Det dobbelte koncept til et subobjekt er et faktorobjekt; det vil sige, for at få definitionen af et kvotientobjekt, skal du erstatte "monomorphism" med "epimorphism" i definitionen ovenfor og ændre retningen af alle pile.
I kategorien af mængder svarer subobjekter af A til delmængder af A , eller mere præcist til klassen af alle indlejringer af sæt, der er ækvivalente med en given i en given delmængde. Det samme gælder i kategorien af grupper og i nogle andre kategorier.