Periodisk funktion

En periodisk funktion er en funktion , der gentager sine værdier med et eller andet regelmæssigt interval af argumentet, det vil sige, den ændrer ikke sin værdi, når et fast tal, der ikke er nul ( funktionens periode ) tilføjes til argumentet over hele definitionsdomænet.

Mere formelt kaldes en funktion periodisk med en periode, hvis for hvert punkt fra dets definitionsdomæne, punkterne og også hører til dets definitionsdomæne, og ligheden er sand for dem . $T\neq 0$ $x$ $x+T$ $xT$ $f(x)=f(x+T)=f(xT)$

Baseret på definitionen gælder ligheden også for en periodisk funktion , hvor er ethvert heltal. $f(x)=f(x+nT)$ $n$

Alle trigonometriske funktioner er periodiske.

Formel definition

Lad der være en abelsk gruppe (normalt antages det - reelle tal med additionsoperationen eller - komplekse tal ). En funktion (hvor er et vilkårligt sæt af dens værdier) kaldes periodisk med et punktum if $M$ $M=(\mathbb {R} ,+)$ $(\mathbb {C} ,+)$ $f:M\to N$ $N$ $T\ikke=0$

f(x+T)=f(x),\quad \foral x\in M

Hvis denne lighed ikke er opfyldt for nogen , kaldes funktionen aperiodisk . $T\i M,\,T\ikke =0$ $f$

Hvis der for en funktion er to perioder , hvis forhold ikke er lig med et reelt tal , det vil sige , så kaldes det en dobbelt periodisk funktion . I dette tilfælde bestemmes værdierne i hele planet af værdierne i parallelogrammet omspændt af . $f:\mathbb {C} \to N$ $T_{1},T_{2}\not =0$ ${\frac {T_{1}}{T_{2}}}\ikke \in \mathbb {R}$ $f$ $f$ $T_{1},T_{2}$

Bemærk

Funktionens periode er defineret tvetydigt. Især hvis er en periode, så er et hvilket som helst element i formen (eller , hvis multiplikationsoperationen er defineret i funktionens domæne), hvor er et vilkårligt naturligt tal , også en periode. $T$ $T'$ $T'=\underbrace {T+\cdots +T} _{n}$ $T'=nT$ $n\in \mathbb {N}$

Mættet af alle perioder af en funktion danner en additiv gruppe .

Men hvis sættet af perioder har den mindste værdi, så kaldes det funktionens hovedperiode (eller hovedperiode) . ${\displaystyle \{T,T>0,T\in \mathbb {R} \))$

Eksempler

De reelle funktioner sinus og cosinus er periodiske med en hovedperiode siden $2\pi$

\sin(x+2\pi )=\sin x,\;\cos(x+2\pi )=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb {R} .

Funktionerne tangent og cotangens er periodiske med en hovedperiode . $\pi$

Funktionen defineret på heltal er periodisk med hovedperioden . ${\displaystyle f(x)=(-1)^{x))$ $2$

En funktion lig med en konstant er periodisk, og ethvert tal, der ikke er nul, er dens periode. Funktionen har ingen hovedperiode. $f(x)=\mathrm {konst}$

Dirichlet-funktionen er periodisk; dens periode er et hvilket som helst rationelt tal, der ikke er nul. Den har heller ikke en hovedperiode.

Funktionen er aperiodisk. $f(x)=x^{2},\;x\in \mathbb {R}$

Nogle funktioner i periodiske funktioner

Summen af to funktioner med sammenlignelige perioder og er ikke altid en funktion med en hovedperiode lig med det mindste fælles multiplum og (dette tal vil dog blot være en periode). For eksempel er funktionens hovedperiode , funktionens periode er , og deres sum har åbenbart hovedperioden . $T_{1}$ $T_{2}$ $T_{1}$ $T_{2}$ $f(x)=\sin(2x)-\sin(3x)$ $2\pi$ $g(x)=\sin(3x)$ $2\pi /3$ $f(x)+g(x)=\sin(2x)$ $\pi$

Summen af to funktioner med inkommensurable perioder er ikke altid en ikke-periodisk funktion.

Der er periodiske funktioner, der ikke er lig med en konstant, hvis perioder er inkommensurable tal. For eksempel, for en funktion , der tager værdierne 1 for algebraisk x og 0 i andre tilfælde, er ethvert algebraisk tal en periode, og blandt algebraiske tal er der også inkommensurable. $f(x)$

Se også