Parametrisk oscillator

En parametrisk oscillator er en oscillator, hvis parametre kan ændre sig i et bestemt område.

En parametrisk oscillator tilhører klassen af ikke-lukkede oscillatoriske systemer, hvor en ekstern handling reduceres til en ændring i dens parametre over tid. Ændringer i parametre, såsom den naturlige oscillationsfrekvens ω eller dæmpningsfaktoren β, fører til en ændring i hele systemets dynamik.

Et velkendt eksempel på en parametrisk oscillator er et barn på en gynge, hvor en periodisk skiftende højde af massecentret betyder en periodisk ændring i inertimomentet, hvilket fører til en stigning i svingoscillationsamplituden [3, p. . 157]. Et andet eksempel på en mekanisk parametrisk oscillator er et fysisk pendul, hvis ophængningspunkt udfører en given periodisk bevægelse i lodret retning, eller et matematisk pendul, hvis længde af tråden periodisk kan ændre sig.

Et meget brugt eksempel på en parametrisk oscillator i praksis er den parametriske oscillator, der bruges på mange områder. Periodisk ændring af diodens kapacitans ved hjælp af et specielt kredsløb kaldet en "pumpe" fører til de klassiske oscillationer af en varactor parametrisk oscillator. Parametriske oscillatorer er udviklet som støjsvage forstærkere, der er særligt effektive i radio- og mikrobølgefrekvensområdet. Da ikke aktive (ohmske), men reaktive modstande periodisk ændres i dem, er termisk støj i sådanne generatorer minimal. I mikrobølgeelektronik fungerer en bølgeleder / YAG baseret på en parametrisk oscillator på samme måde. For at excitere parametriske svingninger i systemet ændrer designere periodisk systemparameteren. En anden klasse af enheder, der ofte bruger metoden til parametriske oscillationer, er frekvensomformere, især konvertere fra lyd til radiofrekvenser. For eksempel konverterer en optisk parametrisk oscillator en indgangslaserbølge til to udgangsbølger med lavere frekvens (ωs, ωi) . Begrebet parametrisk resonans er tæt forbundet med den parametriske oscillator.

Parametrisk resonans er en stigning i amplituden af oscillationer som følge af parametrisk excitation. Parametrisk excitation adskiller sig fra klassisk resonans, da den er skabt som et resultat af en midlertidig ændring i systemets parametre og er forbundet med dets stabilitet og stabilitet .

Matematik

Parametrene for en endimensionel oscillator, der bevæger sig med friktion, er dens masse , elastiske koefficient og dæmpningskoefficient . Hvis disse koefficienter afhænger af tid, og , så har bevægelsesligningen formen $m$ $k$ $\beta$ $m=m(t),k=k(t),\beta =\beta (t)$

{\frac {d}{dt}}(m{\dot {x}})+\beta {\dot {x}}+kx=0,

$(en)$

Lad os ændre tidsvariablen → , hvor , som bringer ligning (1) til formen $t$ $\tau$ $d\tau=dt/m(t)$

{\frac {d^{2}x}{d\tau ^{2}}}+\beta {\frac {dx}{d\tau }}+kmx=0,

$(2)$

Lad os foretage en ny udskiftning → : $x(\tau)$ $q(\tau )$

q(\tau )=\exp ^{B(\tau )}x(\tau ),B(\tau )={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\ tau }\beta (\xi )d\xi ,

$(3)$

Dette vil slippe af med dæmpningsudtrykket:

{\frac {d^{2}q}{d\tau ^{2}}}+\delta ^{2}(\tau )q=0,\delta ^{2}(\tau )= km-{\frac {\dot {\beta }}{2}}-{\frac {\beta ^{2}}{4}},

$(fire)$

Derfor er det faktisk, uden tab af generelitet, i stedet for ligning (1), tilstrækkeligt at overveje en bevægelsesligning for formen

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega ^{2}(t)x=0,

$(5)$

som ville fås fra ligning (1) med . $m=const$

Interessant nok, i modsætning til tilfældet med en konstant frekvens , er den analytiske løsning af ligning (5) ikke kendt i generel form. I det særlige tilfælde af en periodisk afhængighed er ligning (5) Hill-ligningen , og i tilfælde af en harmonisk afhængighed er det et særligt tilfælde af Mathieu-ligningen . Ligning (5) studeres bedst i det tilfælde, hvor oscillationsfrekvensen ændrer sig harmonisk i forhold til en konstant værdi. ${\displaystyle \omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2))$ $\omega (t)$ $\omega (t)$

1. Overvej tilfældet, når , dvs. ligning (5) har formen $\omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega _{0}+\varepsilon )t]$

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega _{0}+\varepsilon ) t]x=0,

$(6)$

Hvor er frekvensen af naturlige harmoniske svingninger, amplituden af harmoniske frekvensvariationer , konstant er en lille frekvensvariation. Ved en ordentlig ændring i tidens oprindelse kan konstanten h vælges positiv, derfor vil vi uden tab af generalitet antage, at . I stedet for at løse ligning (6), lad os stille et mere beskedent spørgsmål: Ved hvilke værdier af parameteren sker der en kraftig stigning i amplituden af oscillationer, det vil sige, at løsningen stiger på ubestemt tid? Det kan vises [1] at dette sker når $\omega_{0}$ $h\ll 1$ ${\displaystyle \varepsilon \ll \omega _{0))$ $h>0$ $\varepsilon$ $x(t)$

-{\frac {5}{24}}<{\frac {\varepsilon }{h^{2}\omega _{0}}}<{\frac {1}{24}},

$(7)$

2. Overvej det tilfælde, hvor , dvs. ligning (5) har formen $\omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}[1+h\cos(2\omega _{0}+\varepsilon )t]$

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(2\omega _{0}+\varepsilon )t]x=0,

$(8)$

Med andre ord sker den harmoniske ændring af frie vibrationer med en frekvens . I dette tilfælde opstår parametrisk resonans, op til vilkår , når $y=2\omega _{0}+\varepsilon$ $h^{2}$

-{\frac {1}{32}}h-{\frac {1}{2}}<{\frac {\varepsilon }{h\omega _{0}}}<-{\frac { 1}{32}}h+{\frac {1}{2}},

$(9)$

Vi angiver især betingelserne for parametrisk resonans for små svingninger af et matematisk pendul med et ophængspunkt, der svinger i en lodret position, for hvilket oscillationsligningerne har formen

{\ddot {\phi }}+\omega _{0}^{2}[1+{\frac {4a}{l}}\cos(2\omega _{0}+\varepsilon )t ]\phi =0,

$(ti)$

hvor , og . I det tilfælde, hvor og begrænser os til den første ordens udvidelse i , opnår vi det $\omega _{0}^{2}={\frac {g}{l))$ $h={\frac {4a}{l))$ $a\ll l$ $h$

-{\frac {2a{\sqrt {g}}}{l^{\frac {3}{2}}}}<\varepsilon <{\frac {2a{\sqrt {g}}}{ l^{\frac {3}{2)))),

$(11)$

Det faktum, at parametrisk resonans forekommer i nærheden af frekvensen af frie svingninger og dens fordoblede værdi, er ikke tilfældig. Det kan vises (se f.eks. [2]), at i tilfældet med ligningen ${\displaystyle \omega =\omega _{0))$ ${\displaystyle \omega =2\omega _{0))$

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega t)]x=0,

$(12)$

Parametrisk resonans opstår når

\omega ={\frac {2\omega _{0}}{n}},n=1,2,...,

$(13)$

Hovedresonansen forekommer ved det dobbelte af det harmoniske penduls egenfrekvens , og bredden af resonansen er lig med . Det er også vigtigt, at i nærvær af friktion (se ligning (2)), i ligningen $\omega_{0}$ ${\displaystyle h\omega _{0))$

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+3\gamma {\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}[1+ h\cos(\omega t)]x=0,

$(14)$

Fænomenet parametrisk resonans finder ikke sted for nogen , men kun for dem . Således i nærvær af friktion $h\ll 1$ ${\displaystyle h>{\frac {4\gamma }{\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2))))$

{\frac {4\gamma }{\omega _{0}^{2}-\gamma }}<h\ll 1,

$(15)$

som gør det muligt at forstærke eller svække fænomenet parametrisk resonans ved et korrekt valg af parametrene , , og , afhængigt af det praktiske behov. $\gamma$ ${\displaystyle \omega _{0))$ $h$

Litteratur

[1] L. D. Landau og E. M. Lifshits. Teoretisk fysik kursus I. Mekanik. Moskva. Videnskaben. 1973 s. 103-109

[2] A. M. Fedorchenko. Teoretisk mekanik. 1975. Kiev. Forskerskole. 516 s.

[3] K. Magnus. Oscillationer: Introduktion til studiet af oscillatoriske systemer. 1982. Moskva. Verden. 304 s.

Parametrisk oscillator

Matematik

Links

Litteratur