Par (B, N)

Parret ( B , N ) er en struktur på en gruppe af Lie-type , som giver os mulighed for at give ensartede beviser for mange resultater i stedet for at overveje et stort antal bevis efter varianter. Groft sagt viser parret, at alle sådanne grupper ligner den komplette lineære gruppe over feltet. Par blev introduceret af matematikeren Jacques Tits , og derfor kaldes de nogle gange brystsystemer .

Definition

Et par ( B , N ) er et par af undergrupper B og N i en gruppe G , der opfylder aksiomerne [1]

• Foreningen af ​​gruppe B og N genererer G .
• Skæringspunktet H af grupperne B og N er en normal undergruppe af N .
• Gruppen W = N/H genereres af sættet S af elementer w i af orden 2 for i i et eller andet ikke - tomt sæt I.
• Hvis w i er et element af S og w er et hvilket som helst element af W , så er w i Bw indeholdt i foreningen af ​​Bw i wB og BwB .
• No w i generator normaliserer B .

Ideen bag definitionen er, at B er analogen til de øvre trekantede matricer af den fulde lineære gruppe GL n ( K ), H er analogen til de diagonale matricer, og N er analogen til normalisatoren H .

Undergruppen B kaldes undertiden en Borel-undergruppe , H kaldes undertiden en Cartan-undergruppe , og W kaldes en Weil-gruppe . Parret ( W , S ) er et Coxeter-system .

Antallet af generatorer kaldes rang .

Eksempler

• Antag, at G er en hvilken som helst dobbelt transitiv permutationsgruppe på et sæt X med mere end to elementer. Lad B være en undergruppe af G , der efterlader punktet x på plads , og lad N være en undergruppe, der efterlader de to punkter x og y på plads eller bytter plads . Undergruppen H består så af elementer, der efterlader både punkterne x og y på plads, og W har orden 2, og dets ikke-trivielle element permuterer x og y .
• Omvendt, hvis G har et par (B, N) af rang 1, så er virkningen af ​​G på cosets af B dobbelt transitiv . Således er BN-par af rang 1 mere eller mindre det samme som dobbeltpermutationshandlinger på et sæt af mere end 2 elementer.
• Antag at G er en komplet lineær gruppe GL n ( K ) over et felt K . Lad os tage øvre trekantede matricer som B , diagonale matricer som H og generaliserede permutationsmatricer som N , dvs. matricer med nøjagtig ét element, der ikke er nul i hver kolonne og i hver række. Der er n  − 1 generatorer w i , repræsenteret af matricer opnået ved at permutere rækkerne i den diagonale matrix.
• Mere generelt har enhver gruppe af Lie-type et BN-par.
• En reduktiv algebraisk gruppe over et lokalt felt har et BN-par, hvor B er en Iwahori-undergruppe .

Egenskaber for grupper med par BN

Kortet w til BwB er en isomorfi fra mængden af ​​elementer i gruppen W til mængden af ​​dobbelte cosæt i gruppen G med hensyn til B . Klasserne danner en Bruhat-nedbrydning   G  =  BWB .

Hvis T er en delmængde af S , så lad W ( T ) være en undergruppe af W genereret af en delmængde af T. Vi definerer G ( T ) = BW ( T ) B som standard parabolsk undergruppe af T . Undergrupper af G indeholdende undergrupper konjugerer til B er parabolske undergrupper [2] . Kosettene til B kaldes Borel (eller minimale parabolske undergrupper). Disse er præcis de standard parabolske undergrupper.

Ansøgninger

BN-par kan bruges til at bevise, at mange Lie-type grupper er prime modulo centre. Mere præcist, hvis G har et BN -par, således at B er opløselig , skæringspunktet mellem alle cosæt af B er trivielt, og sættet af generatorer af W ikke kan dekomponeres i to ikke-tomme pendlingssæt, så er G simpel, hvis det er perfekt (er så det samme som dens kommutator ). I praksis er alle disse forhold, med undtagelse af perfektionen af ​​gruppe G , nemme at verificere. At kontrollere perfektionen af ​​gruppe G kræver nogle komplicerede beregninger (og nogle små grupper af Lie-typen er ikke perfekte). Men at vise, at en gruppe er perfekt, er normalt meget nemmere end at vise, at en gruppe er enkel.

Noter

1. ↑ Bourbaki, 1972 , s. 27.
2. ↑ Bourbaki, 1972 , s. 34.

Litteratur

• Nicholas Bourbaki . Løgngrupper og løgnealgebraer: Kapitel 4-6. - Springer, 2002. - (Elements of Mathematics). — ISBN 3-540-42650-7 .
  • N. Bourbaki . §2. Tits system // Groups and Lie algebras: Coxeter-grupper og bryster-systemer, grupper genereret af refleksioner af rodsystemet / transl. fra det franske af A.I. Kostrikin og A.N. Tyurin. - Moskva: "Mir", 1972. - S. 26-38. — (Matematikelementer).
• Jean-Pierre Serre . træer. - Springer, 2003. - ISBN 3-540-44237-5 .
  • J.-P. Serr. Træer, amalgamer og SL 2  // Matematik. - 1974. - T. 18 , no. 2 . - S. 20-25 .