Åbent sæt

Et åbent sæt er et sæt , hvor hvert element er inkluderet i det sammen med nogle kvarterer (i metriske rum og især på den rigtige linje). For eksempel er det indre af en bold (uden grænse) et åbent sæt, men bolden sammen med grænsen er ikke åben.

Udtrykket "åben mængde" anvendes på delmængder af topologiske rum og karakteriserer i dette tilfælde ikke "selve"-sættet på nogen måde (hverken i betydningen mængdeteori eller engang i betydningen af den topologiske struktur induceret på det) [1] [2] . Et åbent sæt er et grundlæggende begreb i generel topologi .

Euklidisk rum

Lad der være en delmængde af det euklidiske rum . Så kaldes det åben, hvis sådan, at , hvor er punktets ε-kvarter $U\subset {\mathbb {R}}^{n}$ $U$ $\forall x_{0}\in U\;\eksisterer \varepsilon >0,$ $V_{{\varepsilon }}(x_{0})\undersæt U$ $V_{{\varepsilon }}(x_{0})\equiv \left\{x\in {\mathbb {R}}^{n}:\|x-x_{0}\|<\varepsilon \right\ }$ $x_{0}.$

Med andre ord er et sæt åbent, hvis nogen af dets punkter er indvendigt .

For eksempel er et interval som en delmængde af den reelle linje et åbent sæt. Samtidig er segmentet eller halvintervallet ikke åbent, da punktet tilhører sættet, men ingen af dets kvarterer er indeholdt i dette sæt. $(a,b)$ $[a,b]$ $[a, b)$ $-en$

Metrisk mellemrum

Lad være nogle metriske rum , og . Så kaldes det åben, hvis sådan at , hvor er ε-kvarteret af punktet med hensyn til metrikken . Med andre ord kaldes et sæt i et metrisk rum et åbent sæt, hvis hvert punkt i sættet er inkluderet i dette sæt sammen med en åben kugle centreret i punktet [3] . $(X,\rho)$ $U\undersæt X$ $U$ $\forall x_{0}\in U\;\eksisterer \varepsilon >0,$ $V_{{\varepsilon }}(x_{0})\undersæt U$ $V_{{\varepsilon }}(x_{0})\equiv \{x\in X\midt \rho (x,x_{0})<\varepsilon \}$ $x_{0}$ $\rho$ $U$ $(X,\rho)$ $x_{{0}}$ $U$ $x_{{0}}$

Topologisk rum

En generalisering af ovenstående definitioner er begrebet et åbent sæt fra generel topologi.

Et topologisk rum indeholder pr. definition en "liste" over dets åbne delmængder , en "topologi" defineret på . En delmængde , således at den er et element i topologien (dvs. ) kaldes et åbent sæt med hensyn til topologien . $(X,{\mathcal {T}})$ $\mathcal{T}$ $x$ $U\undersæt X$ $U\in {\mathcal {T}}$ $\mathcal{T}$

En vigtig underklasse af åbne sæt er dannet af kanonisk åbne sæt , som hver især er det indre ( åben kerne ) af et lukket sæt (og derfor falder sammen med det indre af dets lukning). Ethvert åbent sæt er indeholdt i det mindste kanonisk åbne sæt - dette vil være det indre af sættets lukning [4] . $G$ $G$

Historie

Åbne sæt blev introduceret af René-Louis Baer i 1899. [5]

Se også

Noter

↑ Appert, Antoine. Sur le meilleur terme primitif en topologie (fransk) // Cahiers du séminaire d'histoire des mathématiques. - 1982. - Nr. 3 . — S. 65 . Arkiveret fra originalen den 17. februar 2009.
↑ åbent sæt på everything2.com
↑ Shilov G. E. Matematisk analyse. Særligt kursus. — M.: Fizmatlit, 1961. — S. 29
↑ Alexandrov P. S. , Pasynkov V. A. Introduktion til dimensionsteorien. — M .: Nauka, 1973. — 576 s. - C. 24-25.
↑ R. Baire. Sur les fonctions de variables reelles. Annali di Matematica Pura ed Applicata (1898-1922) 3.1 (1899), s. 1-123.

Ordbøger og encyklopædier	Stor russer Britannica (online)