Ortogonale funktioner

To, i det generelle tilfælde, kaldes funktioner med kompleks værdi og , der hører til Lebesgue-rummet , hvor er et målbart sæt , ortogonale hvis $\varphi _{1}(t)$ $\varphi _{2}(t)$ $L_2(E)$ $E$

\int\limits_{E}\!\varphi_1(t)\overline{\varphi_2(t)}\,dt = 0

For vektorfunktioner introduceres det skalære produkt af funktioner under et integral, og integration over et segment erstattes af integration over et område med den tilsvarende dimension. En nyttig generalisering af begrebet ortogonalitet er ortogonalitet med en vis vægt. Er ortogonale med vægten af funktionen og hvis $w$ $f$ $g$

\ \int\limits_\Omega\!\langle f(x),g(x)\rangle w(x)\,d\Omega = 0

hvor er skalarproduktet af vektorer og er værdierne af vektor-værdi-funktioner og i punktet , er områdets punkt og er elementet i dets volumen ( mål ). Denne formel er skrevet på den mest generelle måde sammenlignet med alle ovenstående. I tilfælde af ægte skalarer bør skalarproduktet erstattes af det sædvanlige; i tilfælde af komplekse skalarer : . $\langle f(x), g(x)\range$ $f(x)$ $g(x)$ $f$ $g$ $x$ $x$ $\Omega$ $d\Omega$ $f(x)$ $g(x)$ $f(x)$ $g(x)$ $\langle f(x), g(x)\rangle = \bar f(x) g(x)$

Kravet om, at funktioner hører til rummet , skyldes, at rum ikke danner et Hilbert-rum , og derfor er det umuligt at indføre et skalært produkt på dem, og dermed ortogonalitet. $L_2(E)$ $p \neq 2$ $L_p(E)$

Eksempel

$\sin x$ og er ortogonale funktioner på intervallet $\cos x$ $[0,\pi ]$
$\sin (2\pi knx$ ) og , hvor er et heltal, er ortogonale på intervallet $\cos (2\pi knx)$ $n$ $[0, T], T = 1/k$
$x$ og ortogonalt på intervallet $en$ $[-1,1]$

Ortogonale funktioner

Eksempel

Se også