Ortogonalt koordinatsystem

Kurvilineære koordinater kaldes ortogonale , hvor den metriske tensor har en diagonal form.

{\displaystyle ds^{2}=\sum _{k=1}^{n}\left(h_{k}dq^{k}\right)^{2))

hvor er rummets dimension. skalar faktor $n$

h_{k}(\mathbf {q} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {g_{kk}(\mathbf {q} )}}=|\ mathbf {e} _{k}|

er lig med kvadratroden af de diagonale komponenter af den metriske tensor eller længden af den lokale basisvektor . ${\displaystyle \mathbf {e} _{k))$

I ortogonale koordinatsystemer er koordinatfladerne ortogonale i forhold til hinanden. Især i det kartesiske koordinatsystem er koordinatakserne og ortogonale i forhold til hinanden . $\mathbf {q} =(q^{1},q^{1},\ldots,q^{n})$ $Okse$ $Åh$ $Oz$

Valget af dette eller hint system af ortogonale koordinater bestemmes af systemets symmetri. For eksempel, når man løser problemet med udbredelsen af en elektromagnetisk bølge fra en punktkilde, er det fordelagtigt at anvende et sfærisk koordinatsystem ; ved løsning af problemet med membranoscillationer er et cylindrisk koordinatsystem at foretrække .

Matematiske transformationer

Basisvektorer

I ortogonale systemer er prikproduktet af basisvektorerne:

$\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\left\{{\begin{matrix}0,&i\neq j{;}\\\vert \mathbf { e} _{i}\vert ^{2},&i=j{.}\end{matrix}}\right.$

I de fleste tilfælde bruges normaliserede basisvektorer, hvortil . $\mathbf {e} _{i}^{\left(n\right)}={\frac {\mathbf {e} _{i)){\left|\mathbf {e} _{i} \right|}}$

For normaliserede basisvektorer , hvor er Kronecker-symbolet . ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij))$ ${\displaystyle \delta _{ij))$

Prik produkt

Det skalære produkt af vektorer i ortogonale systemer beregnes med formlen:

\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{k=1}^{n}h_{k}^{2}x^{k}y^{k}=\sum _ {k=1}^{n}{\frac {x_{k}y_{k}}{h_{k}^{2}}}=\sum _{k=1}^{n}x^{k }y_{k}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}y^{k}