Generaliseret metode for øjeblikke

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 5. marts 2017; verifikation kræver 1 redigering .

Den generaliserede momentmetode ( GMM ; engelsk GMM-Generalized Method of Moments ) er en metode, der bruges i matematisk statistik og økonometri til at estimere ukendte parametre for fordelinger og økonometriske modeller, som er en generalisering af den klassiske momentmetode . Metoden blev foreslået af Hansen i 1982. I modsætning til den klassiske metode med momenter kan antallet af begrænsninger være større end antallet af estimerede parametre.

Essensen af metode

Lad fordelingen af en tilfældig vektor x afhænge af en eller anden vektor med ukendte parametre b (antallet af parametre er k ). Lad der også være nogle funktioner g(x, b) (deres antal q er ikke mindre end antallet af estimerede parametre), kaldet momentfunktioner (eller blot momenter ), for hvilke det ud fra teoretiske overvejelser antages, at

$m(b)=E[g(x,b)]=0.$

Den grundlæggende idé med metoden til øjeblikke er at bruge deres prøveanaloger i øjebliksforhold i stedet for matematiske forventninger - prøve betyder

${\hat {m}}(b)=\overline {g(x,b)},$

som ifølge loven om store tal under tilstrækkeligt svage forhold skal konvergere asymptotisk til de matematiske forventninger. Da antallet af betingelser for momenter i det generelle tilfælde er større end antallet af estimerede parametre, har dette system af begrænsninger ikke en unik løsning.

Den generaliserede momentmetode (GMM) er et estimat, der minimerer en positiv-bestemt kvadratisk form fra prøvebetingelser til øjeblikke, hvor prøvemidler bruges i stedet for matematiske forventninger:

${\hat {b}}_{{GMM}}=\arg \min _{{b}}{\hat {m}}(b)^{T}W{\hat {m}}(b),$

hvor W er en symmetrisk positiv bestemt matrix.

Vægtmatricen kan være vilkårlig (under hensyntagen til positiv bestemthed), men det er blevet bevist, at , at de mest effektive er GMM-estimater med en vægtmatrix svarende til den omvendte kovariansmatrix af momentfunktioner . Dette er den såkaldte effektive GMM . $W=V_{g}^{{-1}}$

Men da denne kovariansmatrix ikke er kendt i praksis, anvendes en to-trins procedure ( to-trins GMM - Hansen, 1982):

Trin 1. Modelparametre estimeres ved hjælp af GMM med enhedsvægtmatrix.

Trin 2. Baseret på prøvedataene og parameterværdierne fundet i det første trin, estimeres kovariansmatrixen af momentfunktioner, og det resulterende estimat bruges i den effektive GMM. ${\hat {V}}_{g}=\overline {g(x,{\hat {b}})g(x,{\hat {b}})^{T}}$

Denne to-trins procedure kan fortsættes ( iterativ GMM ): ved hjælp af modelparameterestimater i andet trin, estimeres momentets kovariansmatrix igen, og den effektive GMM genanvendes osv. iterativt indtil den nødvendige nøjagtighed er opnået.

Det er også muligt at nærme sig den numeriske minimering af objektivfunktionen med hensyn til ukendte parametre . Således evalueres både parametrene og kovariansmatrixen samtidigt. Dette er den såkaldte Continuously Updated GMM (Hansen, Heaton, Yaron, 1996). ${\hat {m}}^{T}(b){\hat {V}}_{g}^{{-1}}(b){\hat {m}}(b)$ $b$

Metodeegenskaber

Estimaterne af den generaliserede metode for momenter under tilstrækkeligt svage forhold er konsistente, asymptotisk normale, og estimaterne af den effektive GMM er også asymptotisk effektive. Det kan man vise

{\sqrt {n}}({\hat b}_{{GMM}}-b){\xrightarrow {d}}N(0,V_{{b}}).

Generelt

$V_{{b}}=(G^{T}WG)^{{-1}}G^{T}WV_{g}WG(G^{T}WG)^{{-1}}$

hvor G er forventningen til matrixen af de første afledte af g med hensyn til parametrene. I tilfælde af en effektiv GMM er formlen for kovariansmatrixen meget forenklet:

$V_{b}=G^{T}V_{g}^{{-1}}G.$

J-test

Når du bruger GMM, er en vigtig test de overidentificerende begrænsninger (J-test) . Nulhypotesen er, at betingelserne (begrænsningerne) for momenterne holder (det vil sige, at modellens antagelser er korrekte). Alternativet er, at de tager fejl.

Teststatistikken er lig med værdien af GMM-objektivfunktionen ganget med antallet af observationer. Med nulhypotesen

$J=n{\hat {m}}^{T}({\hat {b}}){\hat {V}}_{g}^{{-1}}{\hat {m}}({ \hat {b))))~{\xrightarrow {d}}~\chi ^{2}(qk).$

Så hvis statistikværdierne er større end den kritiske værdi af fordelingen på et givet signifikansniveau , så afvises restriktionerne (modellen er utilstrækkelig), ellers er modellen anerkendt som tilstrækkelig. $\chi ^{2}(qk)$

Se også

Litteratur