Noetherisk modul

Et Noethersk modul er et modul , hvor betingelsen om at bryde stigende kæder er opfyldt for dets undermoduler ordnet efter inklusion.

Historisk set var Hilbert den første matematiker til at udforske egenskaberne af endeligt genererede undermoduler. Især beviste han Hilberts basissætning , ifølge hvilken ethvert ideal i en polynomialring i flere variabler er endeligt genereret (denne egenskab svarer til at være Noetherian). Den Noetherske ejendom blev dog opkaldt efter Emmy Noether , som var den første til at indse omfanget af dens betydning.

Tilsvarende definitioner og egenskaber

Der er flere tilsvarende definitioner af et Noetherian-modul:

Enhver sekvens af undermoduler af formen stabiliserer sig, det vil sige startende fra nogle $M_{1}\subsetneq M_{2}\subsetneq M_{3}\subsetneq \ldots \qquad (1)$ $n,\;M_{n}=M_{{n+1}}=\ldots .$
Ethvert ikke-tomt sæt af undermoduler M har et maksimumelement . Denne betingelse svarer til den første for ethvert delvist ordnet sæt (beviset bruger det valgte aksiom ).
Hvert undermodul af modulet M genereres endeligt .

Den sidste definition er særlig nyttig, og beviset for dens ækvivalens til den oprindelige definition er elementært:

Hvis et modul opfylder egenskaben fra den sidste definition, så opfylder det også egenskaben fra den første. Faktisk, hvis et undermodul er endeligt genereret, så tager vi modulet, som er foreningen af alle undermoduler i kæden (1), at det er genereret, f.eks. af elementer . Så er der et eller andet element i kæden, der indeholder disse x i og derfor lig med foreningen af alle M i . Herfra $x_{1},x_{2},\ldots x_{n}$ $M_{k}$ $M_{k}=M_{{k+1}}=M_{{k+2}}=\ldots$
Omvendt, hvis M over en ring A opfylder egenskaben fra den første definition (tilsvarende fra den anden definition), og N er dens undermodul, så er der i sættet af alle endeligt genererede undermoduler i modulet N et maksimalt undermodul . Hvis vi så ved at tage et element og konstruere et modul (eller i det ikke-kommutative tilfælde for det rigtige modul) konstruerer et større endeligt genereret modul mod antagelsen. Derfor genereres N endeligt. $N'\delmængde N$ $N'\neq N,$ $x\in N/N'$ $N+Ax$ $N+xA$

Lad være et eller andet modul og være dets undermodul. er Noetherian if og kun hvis og er Noetherian. $M$ $N$ $M$ $N$ $M/N$

Eksempler

Heltallene , betragtet som et modul på ringen af heltal, er et Noethersk modul.
Lad være en komplet matrixring over et vilkårligt felt og være et sæt af kolonnevektorer over dette felt, så kan vi gøre det til et modul over ved at angive multiplikationen af et modulelement med et element i ringen som multiplikationen af en kolonne med en matrix. Så er et Noetherian-modul. $R=M_{n}(K)$ $K$ $M$ $M$ $R,$ $M$
Hvert modul, der er et endeligt sæt, er Noetherian.
Hvert endeligt genereret højre modul over en højre Noethersk ring (se definition nedenfor).

Relationer til andre strukturer

En associativ ring med en enhed kaldes Noetherian , hvis den er et Noethersk modul over sig selv, det vil sige, at den opfylder betingelsen om at bryde stigende kæder for idealer . I det ikke -kommutative tilfælde skelnes der mellem venstre Noetherian og højre Noetherian ringe, men hvis ringen er venstre Noetherian og højre Noetherian, kaldes den blot Noetherian.

Den Noetherske betingelse kan også defineres for bimoduler : Et bimodul kaldes Noetherian, hvis den opfylder den stigende kædetermineringsbetingelse for sine undermoduler. Det kan ske, at et bimodul er Noetherian, mens strukturerne af venstre og højre modul på det ikke er Noetherian.

Se også

Artin modul

Litteratur

Atiyah M., McDonald I. Introduktion til kommutativ algebra. — M.: Mir, 1972
Zarissky O., Samuel R. Kommutativ algebra. — M.: IL, 1963
Leng S. Algebra. — M.: Mir, 1968