Schurs ulighed

I matematik siger Schur- uligheden , opkaldt efter matematikeren Isai Schur , at for vilkårlige ikke-negative reelle tal og uligheden gælder: $x,y,z$ $t$

$x^{t}(xy)(xz)+y^{t}(yx)(yz)+z^{t}(zx)(zy)\geqslant 0$

desuden opnås lighed, hvis og kun hvis to eller flere tal blandt dem er lig med hinanden, og det tredje er lig nul. Hvis det er naturligt og jævnt , så vil uligheden holde for alle reelle . $x=y=z$ $t$ $x,y,z$

Den mest almindelige og velkendte anvendelse af uligheden er det særlige tilfælde, når : $t=1$

$x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geqslant x^{2}y+x^{2}z+y^{2}x+y^{2} z+z^{2}x+z^{2}y$

Bevis

Da uligheden er symmetrisk i forhold til variablerne , kan vi uden tab af generalitet antage, at . Så bliver Schur-uligheden ækvivalent med følgende ulighed: $x,y,z$ $x\geqslant y\geqslant z$

$(xy)[x^{t}(xz)-y^{t}(yz)]+z^{t}(zx)(zy)\geqslant 0$

hvilket er gjort pga . Det fremgår også klart af dette ræsonnement, at lighed kun er mulig for eller og . I betragtning af de varianter, der er symmetriske med denne, kan vi opnå, at i den oprindelige ulighed opnås lighed, hvis og kun hvis to af tallene er lig med hinanden, og den tredje er lig med nul, hvilket skulle bevises. $x^{t}(xz)\geqslant x^{t}(yz)\geqslant y^{t}(yz)$ $x=y=z$ $x=y$ $z=0$ $x=y=z$ $x,y,z$

Generaliseringer

En generalisering af Schurs ulighed er følgende ulighed: for alle reelle og ikke-negative reelle : $x,y,z$ $a,b,c$

$a(xy)(xz)+b(yx)(yz)+c(zx)(zy)\geqslant 0$

hvis mindst én af følgende betingelser er opfyldt:

$x\geqslant y\geqslant z$ og $a\geqslant b$
$x\geqslant y\geqslant z$ og $c\geqslant b$
$x\geqslant y\geqslant z$ og $a+c\geqslant b$
$x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0$ og $ax\geqslant by$
$x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0$ og $cz\geqslant af$
$x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0$ og $ax+cz\geqslant by$
$a,b,c$ - sider af en trekant (muligvis degenereret)
$a,b,c$ - kvadrater af siderne i en trekant (muligvis degenereret)
$axe,by,cz$ - sider af en trekant (muligvis degenereret)
$axe,by,cz$ - kvadrater af siderne i en trekant (muligvis degenereret)
Der er en konveks eller monoton funktion , hvor er et interval , der indeholder tallene , , og , , $f:\mathbb {I} \longrightarrow \mathbb {R^{+}}$ ${\mathbb {I}}$ $x$ $y$ $z$ $a=f(x)$ $b=f(y)$ $c=f(z)$

En anden mulig generalisering siger, at hvis ikke-negative reelle tal og et positivt reelt tal er sådan, at , så [1] : $x\geq y\geq z\geq v$ $t$ $x+v\geq y+z$

$x^{t}(xy)(xz)(xv)+y^{t}(yx)(yz)(yv)+z^{t}(zx)(zy)(zv)+v^ {t}(vx)(vy)(vz)\geq 0.$

Noter

↑ Finta, Bela (2015). "En Schur-typeulighed for fem variabler." Procedia teknologi . 19 : 799-801. DOI : 10.1016/j.protcy.2015.02.114 .