Frobenius ulighed

I lineær algebra er Frobenius-uligheden følgende ulighed for rækkerne af matricer :

\mathrm {rang} \,AB+\mathrm {rang} \,BC\leqslant \mathrm {rang} \,ABC+\mathrm {rang} \,B.

I denne ulighed skal dimensionerne af matricerne , og tillade eksistensen af en matrix (dvs. disse matricer har henholdsvis dimensioner , og ). $EN$ $B$ $C$ $ABC$ $i\times j$ $j\times k$ $k\times l$

Uligheden er opkaldt efter matematikeren F. G. Frobenius , som opdagede den .

Første bevis

Hvis og , så . $U\subset V$ $X:V\højrepil W$ $\dim \mathrm {Ker} \,X_{U}\leqslant \dim \mathrm {Ker} \,X=\dim V-\dim \mathrm {Im} \,X$

Lad os skrive denne ulighed for : $U=\mathrm {Im} \,BC,V=\mathrm {Im} \,B,X=A$

\dim \mathrm {Ker} \,A_{\mathrm {Im} \,B}=\dim \mathrm {Im} \,B-\dim \mathrm {Im} \,AB

Det er også klart, at [1] . $\dim \mathrm {Ker} \,A_{\mathrm {Im} \,BC}=\dim \mathrm {Im} \,BC-\dim \mathrm {Im} \,ABC$

Andet bevis

Overvej blokmatricen

M={\begin{pmatrix}B&0\\0&ABC\end{pmatrix}}

Hvis vi anvender en kæde af elementære transformationer på en matrix, ændrer de som bekendt ikke matrixens rang. $M$

M={\begin{pmatrix}B&0\\0&ABC\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}B&0\\AB&ABC\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}B&-BC \\AB&0\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}BC&B\\0&AB\end{pmatrix}}

Derefter $\mathrm {rang} \,B+\mathrm {rang} \,ABC=\mathrm {rang} \,M=\mathrm {rang} {\begin{pmatrix}BC&B\\0&AB\end{pmatrix}} \geqslant \mathrm {rang} {\begin{pmatrix}BC&0\\0&AB\end{pmatrix}}=\mathrm {rang} \,AB+\mathrm {rang} \,BC$

Noter

↑ Problemer og sætninger af lineær algebra, 1996 , s. 73.

Litteratur

Carl D Meyer. Matrixanalyse og anvendt lineær algebra
Prasolov VV Problemer og sætninger af lineær algebra. — M .: Nauka, 1996. — 304 s. - ISBN 5-02-014727-3 .