Riemann overflademoduler

Modulerne på en Riemann-overflade er numeriske karakteristika (parametre), der er ens for alle konformt ækvivalente Riemann-overflader , som tilsammen karakteriserer den konforme ækvivalensklasse for en given Riemann-overflade.

Motivation

En nødvendig betingelse for den konforme ækvivalens af to flade områder er den samme forbindelse mellem disse regioner. Ifølge Riemann-sætningen er alle simpelt forbundne domæner med mere end et grænsepunkt konformt ækvivalente med hinanden: hvert sådant domæne kan konformt afbildes på det samme kanoniske domæne, som normalt anses for at være enhedscirklen. For forbindelsesdomæner , , er der ingen nøjagtig ækvivalent til Riemanns sætning: det er umuligt at specificere et fast domæne, hvorpå alle domæner i en given forbindelsesrækkefølge kan afbildes univalent og konformt. Dette har ført til en mere fleksibel definition af en kanonisk -forbundet region, som angiver den generelle geometriske struktur af denne region, men ikke fikserer dens moduler. $n$ $n>2$ $n$

Eksempler

konforme klasser af kompakte Riemann-overflader af slægten er karakteriseret ved rigtige moduler; $g>1$ $6g-6$
torus ( ) er karakteriseret ved to moduler; $g=1$
$n$ -forbundet fladt domæne, betragtet som en Riemann-overflade med grænse, er karakteriseret ved moduler for . $n>3$ $3n-6$
Hvert dobbelt forbundne domæne i planet med ikke-degenererede grænsekontinuumer kan kortlægges konformt på en cirkulær ring $D$ $z$

r<|z|<R

, .

0<r<R<\infty

Forholdet mellem radierne af grænsecirklerne i denne ring er en konform invariant og kaldes modulet for et dobbeltforbundet domæne .

R/r

D

Litteratur

Riemann overflade moduli - artikel fra Encyclopedia of Mathematics . G.V. Kuzmina, E.D. Solomentsev