Vasicek model

Vasicek-modellen er en matematisk en-faktor ligevægtsmodel, der beskriver udviklingen af den såkaldte øjeblikkelige rente .

Beskrivelse

Modellen blev foreslået af Oldrich Vasichek i 1977. En-faktoralitet skyldes, at kun én kilde til usikkerhed i hastighedsdynamikken er involveret i modellen. Denne model antager, at renten svinger omkring et vist gennemsnitsniveau.

Denne model var den første, der tog højde for renternes tendens til at vende tilbage til middelværdien ( engelsk mean reversion ): renter kan ikke stige i det uendelige, da deres høje niveau vil begrænse den økonomiske aktivitet og, efter en vis grænse, vil bringe den til intet; på den anden side er taksterne naturligvis begrænset nedefra. Derfor bør kurserne bevæge sig inden for et begrænset interval.

Ulempen ved Vasiceks model er, at den bruger en normalfordeling for volatilitetsdriftskoefficienten, som teoretisk giver mulighed for negative rater.

Matematisk model

Matematisk er modellen skrevet som følgende stokastiske differentialligning af diffusionstype ( Ornstein-Uhlenbeck-ligning ) [1] :

$dr_{t}=\alpha (\beta -r_{t})\Delta t+\sigma \epsilon {\sqrt {\Delta t))$ ,

hvor:

$\epsilon {\sqrt {\Delta t))$ — Wiener-proces ( — tilfældig udvælgelse fra standardnormalfordelingen på tidspunktet t : ), $\epsilon$ $\epsilon \left(t\right)\sim \mathrm {N} \left(0,1\right)$
$\beta$ - det gennemsnitlige (langsigtede) renteniveau,
$\alfa$ er en parameter, der karakteriserer tilbagevenden til middelværdien ( ), $0\leq \alpha \leq 1$
$\sigma$ — volatilitetsparameter. I Vasicek-modellen afhænger kursvolatiliteten ikke af den aktuelle kursværdi.

I 1990 og 1991 blev Black-Derman-Toy og Black-Karasinsky modellerne introduceret, henholdsvis, hvilket introducerede ikke-stationær volatilitet.

Løsning af ligningen

Løsningen af Vasicek-ligningen har formen:

$r_{t}=r_{0}e^{{-\alpha t}}+\beta (1-e^{{-\alpha t}})+\sigma e^{{-\alpha t}}\ int _{0}^{t}e^{{\alpha s}}dW_{s}$

Kursens matematiske forventning og volatilitet er lig med:

$E(r_{t})=r_{0}e^{{-\alpha t}}+\beta (1-e^{{-\alpha t}})=\beta +(r_{0}-\ beta )e^{{-\alpha t}}~,~~V(r_{t})={\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}(1-e^{{-2 \alpha t}})$

Derfor, når vi har en langsigtet gennemsnitsrente og volatilitet $t\højrepil\infty$ $E(r)=\beta ~,~~V(r)={\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}$

Udbyttekurve

Ligningen for rentekurven (rentestrukturen af rentesatser) svarende til Vasicek-modellen har formen:

$R(t)=R_{{\infty }}+(r_{0}-R_({\infty }}){\frac {1-e^{{-\alpha t}}}{\alpha t}} +{\frac {\sigma ^{2}(1-e^{{-\alpha t)))^{2}}{4\alpha ^{3}t}}~,~~R_{{\infty }}=\lim _{{t\rightarrow \infty }}R(t)=\beta +\lambda \sigma /a-0.5\sigma ^{2}/\alpha ^{2}$

$\lambda$ - markedsrisikoprisen, bestemt ud fra betingelsen om fravær af arbitrage ved dannelsen af obligationer med forskellige løbetider.

Se også

Spredningsmodel for renteudviklingen

Noter

↑ Meissner, Gunter. Korrelationsrisikomodellering og -styring : en anvendt vejledning inklusive Basel III-korrelationsrammerne - med interaktive modeller i Excel/VBA . - Wiley, 2014. - S. 47. - ISBN 111879690X .