Einstein manifold

En Einstein-manifold er en Riemann- eller pseudo-Riemann- manifold, hvis Ricci-tensor er proportional med den metriske tensor .

Denne betingelse er opfyldt for løsninger af Einstein-ligningerne med en muligvis ikke-nul kosmologisk konstant , men generelt kan dimensionen af Einstein-manifolden og dens signatur være vilkårlig - de behøver ikke at være de firedimensionelle Lorentzian-manifolder, der studeres i generel relativitetsteori .

Opkaldt efter Albert Einstein .

Definition

En Riemann-manifold er en Einstein-manifold if

\mathrm {Ric} =k\cdot g

for en konstant , hvor betegner Ricci-tensoren og er den metriske tensor . $k$ $\mathrm {Ric}$ $g$

I tilfælde af, at en sådan manifold også kaldes Ricci-flat . $k=0$
Einsteins ligning med den kosmologiske konstant er som følger $\lambda$ $R_{ab}-{\tfrac {1}{2}}\cdot g_{ab}\cdot R+g_{ab}\cdot \Lambda =8\cdot \pi \cdot T_{ab},$

i vakuum er energi-moment-tensoren nul. Så ligningen reduceres til

{\displaystyle T_{ab))

R_{ab}-{\tfrac {1}{2}}\cdot g_{ab}\cdot R+g_{ab}\cdot \Lambda =0,

som kan omskrives som

R_{ab}={\frac {2\cdot \Lambda }{n-2}}\cdot g_{ab}.

Det vil sige for den kosmologiske konstant vi har .

\lambda

k={\tfrac {2\cdot \Lambda }{n-2))

Enhver manifold med konstant tværsnitskrumning; i særdeleshed:
- Det euklidiske rum er fladt og derfor Ricci-fladt og i særdeleshed en Einstein-manifold.
- Enhedssfære , Einstein s . ${\mathbb {S}}^{n}$ $k=n-1$
- Lobachevsky-rummet er einsteinsk med negativ . $k$
Komplekse projektive rum med Fubini-Study metrikken . $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$
Calabi-Yau Ricci-rummet er fladt og er især en Einstein-manifold.

Hitchin-Thorpe uligheden er en nødvendig topologisk betingelse for eksistensen af Einstein-metrikken på en lukket , orienteret, firedimensionel mangfoldighed.