Ricci soliton

Ricci-soliton er en løsning på Ricci-strømmen , hvor rummet ikke ændres eller kun ændres ved at ændre skalaen. Opkaldt efter Gregorio Ricci-Curbastro .

Einstein-manifolder er det enkleste eksempel på Ricci-solitoner, for hvilke parametriseringen opnået fra Ricci-strømmen er konstant.

Generelt definerer Ritchie-flowet en én-parameter familie af diffeomorfismer på en manifold opnået ved at integrere et vektorfelt, der opfylder ligningen $x$

\operatorname {Rc} (g_{0})=\lambda \cdot g_{0}+{\mathcal {L}}_{X}g_{0},

hvor er Ricci-krumningstensoren , og er Lie-derivatet . Hvis , så bliver betingelsen Einstein-betingelsen $\operatørnavn {Rc}$ $\mathcal{L}$ $X=0$

Typer

Hvis feltet er en gradient af en eller anden funktion , så kaldes solitonen gradient . I dette tilfælde antager ligningen formen $X=\nabla f$ $f$ $\operatorname {Rc} (g_{0})=\lambda \cdot g_{0}+\mathrm {Hess} f,$

og selve funktionen kaldes solitonpotentialet .

f

Når soliton kaldes stationær , i dette tilfælde eksisterer løsningen på hele den virkelige prama og ændrer sig ikke geometrisk i tid; kun parametriseringen af en fast manifold kan ændres. $\lambda =0$
Når soliton trækker sig sammen , kan løsningen bestemmes på bjælken . $\lambda >0$ $(-\infty,0)$
Når soliton udvider sig , kan løsningen bestemmes på bjælken . $\lambda <0$ $(0,\infty )$

Egenskaber

For enhver kegle over en kugle med en Riemannsk krumningsoperatormetrik eksisterer der en unik ekspanderende gradient Ricci soliton , sådan at den konvergerer til Gromov-Housstroff ved . [en] $C$ $\geq 1$ ${\displaystyle M^{t))$ ${\displaystyle M^{t))$ $C$ $t\to 0$

For enhver gradient soliton med potentiale , identiteten $f$ $2\cdot \mathrm {Rc} (\nabla f)+\nabla \mathrm {R} =0,$

hvor betegner Ricci-tensoren og er den skalære krumning .

\mathrm {Rc}

{\mathrm {R}}

Eksempler

Det Eulidiske rum er en gradient Ricci soliton; potentialet kan være en hvilken som helst funktion, der er proportional med kvadratet af afstanden til det fikserede punkt; Afhængigt af valget af proportionalitetskoefficienten kan man opnå en stationær, sammentrækkende og også ekspanderende soliton.
Plan med metrisk $\mathbb {R} ^{2}$ $ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}}$

er en stationær gradientsoliton med potentiale . Dette er den såkaldte Hamilton - cigar .

f=-\ln(1+x^{2}+y^{2})

Noter

↑ arXiv : 1502.07921

Litteratur

arXiv : 0908.2006
Chow, Bennett, Peng Lu og Lei Ni. Hamiltons Ricci flow. - American Mathematical Soc., 2006.