Ricci soliton
Ricci-soliton er en løsning på Ricci-strømmen , hvor rummet ikke ændres eller kun ændres ved at ændre skalaen. Opkaldt efter Gregorio Ricci-Curbastro .
Einstein-manifolder er det enkleste eksempel på Ricci-solitoner, for hvilke parametriseringen opnået fra Ricci-strømmen er konstant.
Generelt definerer Ritchie-flowet en én-parameter familie af diffeomorfismer på en manifold opnået ved at integrere et vektorfelt, der opfylder ligningen
hvor er Ricci-krumningstensoren , og er Lie-derivatet . Hvis , så bliver betingelsen Einstein-betingelsen
Typer
- Hvis feltet er en gradient af en eller anden funktion , så kaldes solitonen gradient . I dette tilfælde antager ligningen formen
og selve funktionen kaldes solitonpotentialet .
- Når soliton kaldes stationær , i dette tilfælde eksisterer løsningen på hele den virkelige prama og ændrer sig ikke geometrisk i tid; kun parametriseringen af en fast manifold kan ændres.
- Når soliton trækker sig sammen , kan løsningen bestemmes på bjælken .
- Når soliton udvider sig , kan løsningen bestemmes på bjælken .
Egenskaber
- For enhver kegle over en kugle med en Riemannsk krumningsoperatormetrik eksisterer der en unik ekspanderende gradient Ricci soliton , sådan at den konvergerer til Gromov-Housstroff ved . [en]
- For enhver gradient soliton med potentiale , identiteten
hvor betegner
Ricci-tensoren og er den
skalære krumning .
Eksempler
- Det Eulidiske rum er en gradient Ricci soliton; potentialet kan være en hvilken som helst funktion, der er proportional med kvadratet af afstanden til det fikserede punkt; Afhængigt af valget af proportionalitetskoefficienten kan man opnå en stationær, sammentrækkende og også ekspanderende soliton.
- Plan med metrisk
er en stationær gradientsoliton med potentiale . Dette er den såkaldte
Hamilton - cigar .
Noter
- ↑ arXiv : 1502.07921
Litteratur
- arXiv : 0908.2006
- Chow, Bennett, Peng Lu og Lei Ni. Hamiltons Ricci flow. - American Mathematical Soc., 2006.