Whitehead manifold

En Whitehead-manifold er et specifikt eksempel på en åben 3 -manifold , der er sammentrækbar, men ikke homøomorf . Et eksempel blev fundet af Henry Whitehead i 1935 , mens han forsøgte at løse Poincaré-formodningen . $\mathbb {R} ^{3}$

I de endimensionelle og todimensionelle tilfælde er der ingen sådanne eksempler.

Konstruktion

Til konstruktion i en tredimensionel kugle vælges en uknyttet solid torus , derefter vælges den anden solide torus in , så det rørformede kvarter af meridianen danner en fortykkelse af Whitehead-leddet . I dette tilfælde kan meridianen trækkes sammen i komplementet , og meridianen kan trækkes sammen i komplementet . $T_{1}$ $T_{2}$ $T_{1}$ $T_{2}$ $T_{1}$ $T_{2}$ $T_{1}$ $T_{1}$ $T_{2}$

Dernæst konstrueres en solid torus , indlejret på samme måde som for ; denne konstruktion kan fortsættes i det uendelige og opnår en sekvens af indlejrede fuld-tripler: $T_{3}$ $T_{2}$ $T_{2}$ $T_{1}$

T_{1}\undersæt T_{2}\undersæt T_{3}\undersæt \dots

Whitehead kontinuum er defineret som skæringspunktet mellem de konstruerede fuldtries:

W=\bigcap _{i}T_{i}

Komplementet i den tredimensionelle sfære er Whitehead-manifolden. $W$

Egenskaber

Whitehead-manifolden, , er ikke homøomorf , men produktet er homøomorf . $W$ $\mathbb {R} ^{3}$ $W\ gange\R$ $\R^4$
En Whitehead-manifold indeholder et kompakt sæt, så komplementet til ethvert andet kompakt sæt ikke blot er forbundet . $K$ $K'\forstyrret K$ $W\backslash K'$

Se også

Antoines halskæde

Litteratur

Kirby, Robion. Topologien af 4-manifolds. - Springer-Verlag , 1989. - (Lecture Notes in Mathematics, 1374). — ISBN 0-387-51148-2 .