Multiværdi analytisk funktion

En analytisk funktion med flere værdier er en kompleks funktion med flere værdier opnået ved analytisk fortsættelse langs alle veje.

Et analytisk element er et par , hvor ( for funktioner af flere variable) er et domæne i , og en enkeltværdi analytisk funktion i dette domæne. $(F,f)$ $F\subset {\widehat {\mathbb {C} }}$ $F\subset \mathbb {C} ^{n}$ $\widehat {{\mathbb {C}}}$ $f$

To analytiske elementer og kaldes direkte analytisk fortsættelse af hinanden gennem domænet, hvis skæringspunktet er ikke-tomt og på en af de forbundne komponenter i skæringspunktet af funktionen og er ens. $(F,f)$ $(G,g)$ $\Delta$ $F\cap G$ $\Delta \subset F\cap G$ $f$ $g$

Et analytisk element kaldes en analytisk fortsættelse af et element gennem en kæde af domæner, hvis der er en sådan kæde af elementer , at hvert element er en direkte analytisk fortsættelse af elementet gennem et domæne . $(F_{n},f_{n})$ $(F_{0},f_{0})$ ${\displaystyle \Delta _{1},\ldots ,\Delta _{n))$ $(F_{1},f_{1}),\ldots ,(F_{n-1},f_{n-1})$ $(F_{i},f_{i})$ $(F_{i-1},f_{i-1})$ $\Delta _{i}$

En ækvivalensrelation kan defineres mellem elementer baseret på begrebet analytisk fortsættelse. Vi vil overveje et element svarende til et element, hvis er en analytisk fortsættelse af . Det er let at bevise, at denne relation er en ækvivalensrelation. Ifølge denne ækvivalensrelation kan sættet af alle analytiske elementer opdeles i ækvivalensklasser. Disse samme ækvivalensklasser kaldes komplette analytiske funktioner. Lad os skrive en streng definition. $(F,f)$ $(G,g)$ $(G,g)$ $(F,f)$

En komplet analytisk funktion af en kompleks variabel er et ikke-tomt sæt af analytiske elementer, således at for ethvert analytisk element fra sættet er alle de andre dets analytiske fortsættelse, og ethvert element, der er en analytisk fortsættelse , er inkluderet i dette sæt. $(F,f)$ $(F,f)$

Analyticitet kan defineres på et eller andet område. En analytisk funktion $EN$ i et domæne er et sæt analytiske elementer, således at: $(F_{\alpha },f_{\alpha })$

Alle $F_{\alpha }\subset A$
$\bigcup _{\alpha }F_{\alpha }=A$
For ethvert element er ethvert andet element en analytisk fortsættelse gennem en kæde af regioner, der ligger i $(F,f)$ $(G,g)$ $(F,f)$ $EN$
For ethvert element er ethvert andet element , som er en analytisk fortsættelse gennem en kæde af regioner, der ligger i , inkluderet i sættet $(F,f)$ $(G,g)$ $(F,f)$ $EN$

Et element inkluderet i dette sæt kaldes et element i en analytisk funktion. Denne definition er identificeret med en funktion med flere værdier i følgende betydning. Værdien af en analytisk funktion i et punkt er værdien af alle funktioner af elementer på dette punkt, hvor punktet er inkluderet i det tilsvarende sæt. $-en$ $-en$