Minimum overflade
Minimumsoverfladen er en glat overflade med nul middelkrumning . Navnet forklares ved, at en glat overflade med en given kontur, der minimerer området, er minimal.
Eksempler
Egenskaber
- De asymptotiske linjer på den minimale overflade danner et isotermisk netværk .
- Generelt har en minimumsflade med en kant muligvis ikke det mindste areal blandt alle overflader med en given kontur. Men ethvert punkt på den minimale overflade er indeholdt i skiven, hvilket minimerer området givet konturen.
- Desuden, hvis en kompakt minimal overflade er grafen for en glat funktion defineret på et konveks domæne i -planet, så minimerer den arealet blandt alle overflader med en given grænse. [en]
- Monotonicitetsformel
Historie
De første undersøgelser af minimale overflader går tilbage til Lagrange ( 1768 ), som overvejede følgende variationsproblem : find overfladen af det mindste område, der spændes over af en given kontur. Forudsat den ønskede overflade, givet i formen , Lagrange bestemt, at denne funktion skal opfylde Euler-Lagrange ligningen .
Monge ( 1776 ) opdagede senere , at betingelsen for, at overfladearealet er minimalt, indebærer, at dets middelkrumning er nul. Derfor blev navnet "minimal" tildelt overflader med. I virkeligheden er det dog nødvendigt at skelne mellem begreberne minimumsfladen og overfladen af det mindste areal, da betingelsen kun er en nødvendig betingelse for minimumsarealet, som følger af lighed til nul af 1. variation af overfladearealet blandt alle overflader med en given grænse.
Noter
- ↑ Harvey, Reese; Lawson, H. Blaine, Jr. kalibrerede geometrier. ActaMath. 148 (1982), 47-157.
Links
- Evgeny Stepanov Videoforedrag: minimale overflader (rus.)