Waserstein-metrik

Vaserstein-metrikken er en naturlig metrisk på rummet af sandsynlighedsmål i et metrisk rum .

Intuitivt, hvis hvert mål måler fordelingen af "jord" over det metriske rum M , så måler Waserstein-afstanden minimumsomkostningerne ved at transformere en jordfordeling til en anden, i det simpleste tilfælde antages det, at omkostningerne er direkte proportionale med mængden af jord og den afstand, den skal trækkes over.

Navnet "Vaserstein metrisk" blev foreslået af Dobrushin i 1970 til ære for Leonid Vaserstein ( født Leonid Vaseršteĭn ), som overvejede det i 1969.

Definition

Lad ( M , d ) være et metrisk rum , hvor hvert sandsynlighedsmål på M er et radonmål .

For p ≥ 1, lad P p ( M ) angive mængden af alle sandsynlighedsmålinger μ på M med endeligt p - th moment : det vil sige, for et eller andet (og dermed for et hvilket som helst) punkt x 0 i M

\int _{M}d(x,x_{0})^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)<+\infty .

Derefter defineres den p -te Vaserstein-metrik W p ( μ , ν ) mellem to sandsynlighedsmål μ og ν i P p ( M ) som

W_{p}(\mu,\nu):=\venstre(\inf _{\gamma \in \Gamma (\mu,\nu)}\int _{M\ gange M}d(x, y)^{p}\,\mathrm {d} \gamma (x,y)\right)^{1/p},

hvor Γ( μ , ν ) angiver mængden af alle mål over M × M med marginale (partielle) fordelinger μ og ν for henholdsvis den første og anden parameter. (Mættet af mål Γ( μ , ν ) kaldes også sættet af alle parringer af μ med ν .)

Egenskaber

Konvergens i denne metrik svarer til den svage konvergens af foranstaltninger plus konvergensen i det første p - th øjeblik. $W_{p}$

Den dobbelte definition af W 1 er et særligt tilfælde af Kantorovich -Rubinshteins dualitetssætning (1958): hvis μ og ν har afgrænset støtte, så $W_{1}(\mu ,\nu )=\sup \left\{\int _{M}f(x)\,\mathrm {d} (\mu -\nu )(x)\right \},$

hvor supremum overtages alle 1 - Lipschitz funktioner f .

For enhver p ≥ 1 er et metrisk rum ( P p ( M ), Wp ) adskilleligt og komplet , hvis ( M , d ) er adskilleligt og komplet [1] .

Se også

Transportopgave

Noter

↑ Bogachev, VI; Kolesnikov, AV Monge-Kantorovich-problemet: præstationer, forbindelser og perspektiver // Advances in Mathematical Sciences . - RAS . — Bd. 67 . - S. 785-890 . - doi : 10.1070/RM2012v067n05ABEH004808 .

Litteratur

Jordan, Richard; Kinderlehrer, David; Otto, Felix . Variationsformuleringen af Fokker-Planck-ligningen // SIAM J. Math. Anal. : journal. - 1998. - Bd. 29 , nr. 1 . - S. 1-17 (elektronisk) . — ISSN 0036-1410 . - doi : 10.1137/S0036141096303359 .
Rüschendorf, L. (2001), "Wasserstein metrisk" , i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4