Metode til langsomt varierende amplituder

Metoden med langsomt varierende amplituder ( MMMA , nogle gange Van der Pol-metoden ) [1] bruges til den omtrentlige løsning af ikke-lineære ligninger, der er tæt på lineære, og svingningerne er tæt på harmoniske [2] . Metoden er baseret på den antagelse, at bølgens amplitude (indhylning) ændrer sig langsomt i tid og rum sammenlignet med bølgeperioden.

Metoden bruges for eksempel i radiofysik [3] , ikke-lineær optik [4] [5] [6] .

Eksempel

Overvej den elektromagnetiske bølgeligning :

\nabla ^{2}E-\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2))}= 0,

hvor k 0 og ω 0 er bølgevektoren og bølgevinkelfrekvensen E ( r , t ) , og brug følgende repræsentation:

E(\mathbf {r} ,t)=\Re \left[E_{0}(\mathbf {r} ,t)\,e^{i\,(\mathbf {k} _{0} \,\cdot \,\mathbf {r} -\omega _{0}\,t)}\right],

hvor angiver den reelle del. $\scriptstyle \Re [\cdot ]$

I den langsomt varierende amplitudeapproksimation antages den komplekse amplitude E 0 ( r , t ) at variere langsomt med r og t . Det antager også, at E 0 ( r , t ) repræsenterer en bølge, der udbreder sig fremad i retningen k 0 . Som et resultat af den langsomme ændring i E 0 ( r , t ), kan højordensderivater negligeres: [7]

\displaystyle \left|\nabla ^{2}E_{0}\right|\ll \left|{\vec {k}}_{0}\cdot \nabla E_{0}\right|

og ,

\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}E_{0}}{\partial t^{2}}}\right|\ll \left|\omega _{0}\,{ \frac {\partial E_{0}}{\partial t}}\right|,

k_{0}=|\mathbf {k} _{0}|.

Efter at have anvendt tilnærmelsen og nulstilling af de højere afledede, vil bølgeligningen blive skrevet som:

2\,i\,\mathbf {k} _{0}\,\cdot \nabla E_{0}+2\,i\,\omega _{0}\,\mu _{0}\ ,\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}-\left(k_{0}^{2}-\omega _{0}^{2}\ ,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\right)\,E_{0}=0.

Under hensyntagen til det faktum, at k 0 og ω 0 opfylder spredningsrelationen :

k_{0}^{2}-\omega _{0}^{2}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}=0.\,

vi får:

\mathbf {k} _{0}\cdot \nabla E_{0}+\omega _{0}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,{\frac {\ delvis E_{0}}{\partial t}}=0.

Dette er en hyperbolsk ligning , ligesom den oprindelige bølgeligning, men nu af den første snarere end den anden orden. Det gælder for kohærente bølger, der udbreder sig i retninger tæt på k 0 . Ofte er sådan en ligning meget lettere at løse end den oprindelige.

Parabolsk tilnærmelse

Overvej udbredelse langs z- retningen , det vil sige k 0 || z .Så gælder metoden kun for afledte med hensyn til z -koordinaten og med hensyn til tid. Hvis er Laplace-operatoren i x - y-planet , får vi som et resultat: ${\displaystyle \scriptstyle \Delta _{\perp }=\partial ^{2}/\partial x^{2}+\partial ^{2}/\partial y^{2))$

k_{0}{\frac {\partial E_{0}}{\partial z}}+\omega _{0}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,{ \frac {\partial E_{0}}{\partial t}}-{\tfrac {1}{2}}\,i\,\Delta _{\perp }E_{0}=0.

Dette er en parabolsk ligning , så tilnærmelsen kaldes også den parabolske tilnærmelse [8] .

Metode til langsomt varierende amplituder

Eksempel

Parabolsk tilnærmelse

Se også

Links