Lilje metode

Lilys metode er en grafisk metode til at finde de rigtige rødder af polynomier af vilkårlig grad, en grafisk repræsentation af Horners skema .

Historie

Metoden blev foreslået af den østrigske ingeniør Eduard Liel i 1867 [1] og generaliseret i hans senere arbejde. [2]

Beskrivelse af metoden

• Løsning af ligningen 2x 5 + 4x 4 + 4x 3 + 3x 2 + 1,5x + 0,75 = 0.

• Ikke en løsning på ligningen 2x 5 + 4x 4 + 4x 3 + 3x 2 + 1,5x + 0,75 = 0.

• Tre rødder -1/2, -1/√2, 1/√2 af polynomiet 4 x 3  + 2 x 2  - 2 x  - 1. Rødderne svarer til tre indskrevne polygonale linjer.

En rektangulær polygonal linje tegnes fra koordinaternes oprindelse. Det første led er tegnet til højre, dets længde er lig med den højeste koefficient; hvis den er negativ, slutter linket til venstre for oprindelsen. Fra slutningen af ​​det første segment trækkes det næste segment op med værdien af ​​den anden koefficient, derefter til venstre med værdien af ​​det tredje, ned med værdien af ​​det fjerde og så videre. Sekvensen af ​​retninger ændres i en cyklus til højre, op, venstre, ned og gentages derefter. Således er hver rotation mod uret (hvis koefficienterne er positive). Processen fortsætter for hver koefficient af polynomiet, inklusive nuller. For et polynomium af n . grad får vi en stiplet linje med n  + 1 led.

Den resulterende polylinje er indskrevet med en rektangulær polylinje, der forbinder enderne af den oprindelige polylinje med spidser placeret sekventielt på fortsættelserne af linkene til den oprindelige polylinje. Hældningen af ​​den indskrevne polylinje, taget med det modsatte fortegn, er roden af ​​det oprindelige polynomium. Desuden kan enhver rigtig rod opnås på denne måde.

Ansøgninger

• I 1936 brugte Margarita Belokh Lilys metode til at løse kubiske ligninger ved hjælp af origami . [3]
  • Den samme idé bruges til at bevise, at de rigtige rødder af en ligning af enhver grad kan findes ved hjælp af -fold origami-foldninger. [fire]

Noter

1. ↑ M.E. Lill. Résolution graphique des équations numériques de tous degrés à une seule inconnue, et description d'un instrument inventé dans ce but  (fransk)  // Nouvelles Annales de Mathématiques :magasin. - 1867. - Bd. 2 . - s. 359-362 .
2. ↑ M.E. Lill. Résolution graphique des équations algébriques qui ont des racines imaginaires  (fransk)  // Nouvelles Annales de Mathématiques :magasin. - 1868. - Bd. 2 . - S. 363-367 .
3. ↑ Thomas C. Hull. Solving Cubics With Creases: The Work of Beloch and Lill  (engelsk)  // American Mathematical Monthly  : journal. - 2011. - April. - S. 307-315 . doi : 10.4169 / amer.math.monthly.118.04.307 .
4. ↑ Roger C. Alperin og Robert J. Lang . En-, to- og flerfoldede origamiaksiomer  (udefineret)  // 4OSME. — A.K. Peters, 2009.

Litteratur

• Shan-Giray A., Florinsky G. Grafisk løsning af ligninger. Lille metode  // V.O.F.E.M. . - 1889. - Nr. 61 . - S. 6-10 . (Russisk)