Metalogisk
Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 10. november 2021; checks kræver 5 redigeringer .Metalogik er studiet af logikkens metateori . Mens logik er studiet af de måder, hvorpå logiske systemer bruges til ræsonnement, bevis og gendrivelse, er metalogik studiet af de logiske systemers egenskaber selv.
Forskningsområdet for metalologi omfatter: formelle sprog , formelle systemer og deres fortolkninger . Studiet af fortolkningen af formelle systemer er en gren af matematisk logik kendt som modelteori , studiet af det deduktive apparat i et formelt system er en gren af bevisteori .
Separate spørgsmål om metalogik har været kendt siden Aristoteles ' tid , men først med fremkomsten af formelle sprog i slutningen af det 19. århundrede. og begyndelsen af det 20. århundrede. studiet af logikkens grundlag er blevet en blomstrende trend. I dag betragtes metalogik og metamatematik ofte som synonymer og studeres i den akademiske uddannelse inden for rammerne af matematisk logik.
Oversigt
Formelt sprog
Et formelt sprog (FL) er et organiseret sæt af elementer, hvis hovedtræk er, at de kan defineres præcist med hensyn til deres form og placering (forekomst). I dette tilfælde kan sproget defineres uden nogen som helst tyngde til de meningsfulde betydninger af dets udtryk, det vil sige, at det kan fikseres, før det tildeles nogen fortolkning (en eller anden betydning er defineret). Første ordens logik kan udtrykkes i et sådant formelt sprog. En formel grammatik definerer, hvilke elementer og sekvenser af elementer, der er formlerne for det pågældende sprog.
Et formelt sprog kan defineres som et sæt A af strenge (endelige sekvenser) af symboler af et eller andet fast alfabet O+. Nogle forfattere, herunder Carnap, definerer et sprog som et ordnet par. Carnap kræver, at hvert tegn fra O+ optræder i A på mindst én linje.
Dannelsesregler
Dannelsesregler (også kaldet formel grammatik) er præcise beskrivelser af velformede formelle sprogstrenge. Disse regler definerer et sæt linjer over alfabetet, som består af velformede formler (ppf). Reglerne beskriver dog ikke formlers semantik (hvad de betyder).
Formelle systemer
Et formelt system (også kaldet en logisk calculus eller et logisk system) består af et formelt sprog sammen med et deduktivt apparat (et deduktivt system). Et deduktivt apparat kan bestå af transformationsregler (også kaldet inferensregler) eller et sæt aksiomer, men det kan omfatte begge dele. Et formelt system bruges til at udlede et eller andet udtryk fra (et eller flere) andre udtryk.
Et formelt system kan også defineres som en ordnet tripel, hvor d er det direkte deducerbarhedsforhold. Denne relation forstås på den måde, at de elementære (indledende, atomare) sætninger i et formelt system tages som direkte afledte fra et tomt sæt af sætninger. Umiddelbar udledning er en relation mellem en sætning og et endeligt, muligvis tomt sæt af sætninger. Aksiomerne er skrevet på en sådan måde, at hver første komponent i relationen d er en sætning (formel), og hver anden komponent er et endeligt (del)sæt af sætninger.
Det er muligt at definere et formelt system ved kun at bruge relationen d. På denne måde kan vi udelade O± i definitionerne af et fortolket formelt sprog og formelt system. Denne metode er dog nok sværere at forstå og arbejde med. [3]
Formelle beviser
Et formelt bevis er en sekvens af velformede PhYa-formler, hvoraf den sidste betragtes som en formel systemsætning. Sætningen er en syntaktisk konsekvens af al tidligere a.p.f. dette bevis. For at kvalificere en p.p.f. som en del af et bevis, skal den være resultatet af at anvende en eller anden regel i det deduktive apparat til den tidligere p.p.f. bevis på.
Fortolkninger
Fortolkningen af det formelle system består i at tildele værdier til symbolerne og sandhedsværdier til sætningerne i det formelle system. Formel semantik beskæftiger sig med studiet af fortolkninger. Opbygning af en fortolkning er tæt på processen med at bygge en model.
Vigtige sondringer i metalogisk
Metasprog - sprogobjekt
I metalogisk kaldes formelle sprog nogle gange objektsprog. Det sprog, der bruges til at udtale sig om objektsprog, kaldes et metasprog. Dette er den vigtigste forskel mellem logik og metalogik. Mens logik beskæftiger sig med beviser i et formelt system, udtrykt i nogle FL, beskæftiger metalogik sig med beviser om et formelt system, som udtrykkes i et eller andet objektsprogs metasprog.
Syntaks - semantik
I metalgik betragter 'syntaks' FL eller formelle systemer uden at tage hensyn til deres fortolkning, mens 'semantik' er forbundet med fortolkninger af FL. Begrebet 'syntaktisk' dækker en lidt bredere kontekst end begrebet 'bevisteoretisk', da det kan anvendes på egenskaberne ved FL uanset ethvert deduktivt system, såvel som formelle systemer. 'Semantisk' er synonymt med begrebet 'model-teoretisk'.
Brug - omtale
I metalologi identificerer ordene "brug" og "omtale" - i navneord og verbum - en vigtig forskel, nemlig forskellen mellem at bruge et ord (eller en sætning) og at nævne det. Normalt bruges anførselstegn, kursiv eller at skrive udtrykket på en separat linje for at angive, at udtrykket er nævnt og ikke brugt. Brugen af citater giver os navnet (titlen) på udtrykket, for eksempel: "Metalogic" er titlen på denne artikel. Denne artikel handler om metalogik.
Type - Markør
Type-markør skelnen adskiller et abstrakt begreb fra objekter, der er særlige tilfælde (eksempler, instanser) af dette begreb. For eksempel er en bestemt cykel i din garage et specialtilfælde (forekomst) af entitetstypen kendt som "cykel". Overvej, at cyklen i din garage er på et bestemt sted på et bestemt tidspunkt, og disse omstændigheder gælder ikke for "cyklen" i sætningen: "cyklen er blevet mere populær for nylig." Denne skelnen bruges til at tydeliggøre betydningen af FY-symbolerne.
Historie
Spørgsmål af metalogisk orientering opstod allerede på Aristoteles ' tid . Det var dog først med fremkomsten af FL i slutningen af det 19. og begyndelsen af det 20. århundrede, at forskningen i logikkens grundlag begyndte at udvide sig. I 1904 bemærkede D. Hilbert , at i forskningen i matematikkens grundlag anvendes logiske begreber i det væsentlige, og derfor kræves en samtidig koordineret overvejelse af metalogiske og metamatematiske principper. I den moderne behandling overlapper metalogik og metamatematik i vid udstrækning, og begge disse discipliner er væsentligt relateret til matematisk logik .
Resultater opnået i metalogic
Resultaterne af metalogik består i vid udstrækning af formelle beviser, der demonstrerer konsistensen, fuldstændigheden og afgøreligheden af specifikke formelle systemer. De vigtigste resultater af metalogik omfatter:
- Et bevis på utelleligheden af mængden af alle delmængder af mængden af naturlige tal ( Cantors sætning , 1891)
- Löwenheim-Skolem teorem (1920)
- Bevis for konsistensen af propositionel logik (Emil Post, 1920)
- Bevis for den semantiske fuldstændighed af propositionel logik (P. Bernays, 1918), [4] (E. Post, 1920) [2]
- Et bevis på den syntaktiske fuldstændighed af propositionel logik (Emil Post, 1920) [2]
- Et bevis på propositionel logiks afgørelighed (Emil Post, 1920) [2]
- Et bevis på konsistensen af en førsteordens et-steds prædikatlogik ( L. Levenheim , 1915)
- Bevis på den semantiske fuldstændighed af prædikaters førsteordens étstedslogik (L. Levenheim, 1915)
- Bevis for afgøreligheden af prædikaternes førsteordens étstedslogik (L. Levenheim, 1915)
- Bevis på konsistensen af prædikaternes førsteordenslogik (D. Hilbert og W. Ackermann, 1928)
- Et bevis på den semantiske fuldstændighed af førsteordens prædikatlogik ( Gödels fuldstændighedssætning , 1930)
- Et bevis på uafgøreligheden af førsteordens prædikatlogik ( Kirkens teorem , 1936)
- Godels første ufuldstændighedssætning , 1931
- Godels anden ufuldstændighedssætning , 1931
- Tarskis teorem om sandhedens uudtrykkelighed (Gödel og Tarski, 1936)
Litteratur
- Metalogics // Great Soviet Encyclopedia : [i 30 bind] / kap. udg. A. M. Prokhorov . - 3. udg. - M . : Sovjetisk encyklopædi, 1969-1978.
- Redigeret af A.A. Ivin. Metalogik // Filosofi: Encyklopædisk ordbog. - Vagter . - M. , 2004.
- Hunter, Geoffrey, Metalogic: An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic, University of California Press, 1971
 Ordbøger og encyklopædier |
|---|