Median (matematik)

Medianen af to brøker og med positive nævnere er en brøk, hvis tæller er lig med summen af tællere, og nævneren er summen af nævnerne af de to givne brøker: ${\frac {a}{b))$ ${\frac {c}{d))$

{\frac {a+c}{b+d)).

Egenskaber

Medianen af to brøker er mellem dem, dvs

hvis , så .

{\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}

{\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}<{\frac {c}{d}}

Bevis Denne egenskab er en konsekvens af relationerne

{\frac {a+c}{b+d}}-{\frac {a}{b}}={{bc-ad} \over {b(b+d)))={d \ over {b+d}}\left({\frac {c}{d}}-{\frac {a}{b}}\right)>0

{\frac {c}{d}}-{\frac {a+c}{b+d}}={{bc-ad} \over {d(b+d)))={b \ over {b+d}}\left({\frac {c}{d}}-{\frac {a}{b}}\right)>0.

Hvis du skriver 2 brøker ned, og derefter flere gange mellem hver 2 nabobrøker deres mediant, får du en Farey-serie .

Historie

Konceptet med medianen af to brøker blev introduceret af A.Ya Khinchin [1] i teorien om fortsatte brøker med det formål bedre at forstå det indbyrdes arrangement og loven om successiv dannelse af mellembrøker. Men i teorien om fortsatte fraktioner, for studiet af mellembrøker, slog udtrykket "mediant" ikke rod [2] . I andre matematiske videnskaber, for eksempel i matematisk analyse [3] og i teorien om almindelige differentialligninger [4] , blev egenskaberne af medianen af n forhold mellem reelle tal brugt til at bevise visse udsagn, selvom definitionen af begrebet af medianen blev ikke givet. Indirekte findes den mest udbredte brug af medianen af n forhold mellem reelle tal i anvendt matematik, især i matematisk statistik. [5] [6] [7] Men definitionen af medianen i disse værker blev heller ikke givet. Maurice Kline [8] "genopdagede" i det væsentlige medianen ved at foreslå "fodboldaritmetik" for at tilføje brøker. Denne tilføjelse blev brugt af M. Kline til at bestemme den gennemsnitlige præstation for en fremadrettet fodboldspiller i to kampe. Han overvejede også sager om at bestemme effektiviteten af handel og gennemsnitshastigheden for en bil baseret på hastighederne på to sektioner af stien.

I øjeblikket bruges medianen i demografi [9] og biologi [10] .

Eksempler på brug

Litteratur og noter

↑ Khinchin A.Ya. Kædeskud. – M.: Fizmatlit, 1961. 112 s.
↑ Leng S. Introduktion til teorien om diofantiske tilnærmelser. – M.: Mir, 1970. – 104 s.
↑ Fikhtengolts G.M. Forløb af differential- og integralregning. T.1. - M.-L.: Gostekhlit, 1947. - 680 s.
↑ Stepanov V.V. Forløb af differentialligninger. - M.: Fizmatlit, 1959. - 468 s.
↑ Salton G.A. Automatisk behandling, lagring og genfinding af information. – M.: Sov. radio, 1973. - 560 s.
↑ Schwartz G. Selektiv metode. Retningslinjer for anvendelse af statistiske estimeringsmetoder. – M.: Statistik, 1978. – 213 s.
↑ Crane M., Lemoine O. Introduktion til den regenerative metode til modelanalyse. – M.: Nauka, 1982. – 104 s.
↑ Kline M. Matematik. Tab af sikkerhed. – M.: Mir, 1984. – 434 s.
↑ Semkin B.I., Soboleva T.A. Evaluering af ændringshastigheden i den samlede befolkning i byerne Primorsky Krai // Geografi og naturressourcer. nr. 4. 2005. S. 118-123.
↑ Semkin B.I., Gorshkov M.V., Varchenko L.I. Om ændringer i vandindholdet i årsskud af nåletræplanter i den tempererede klimazone // Sibirisk økol. magasin 2008. Nr. 4. T. 15. S. 537–544.