Lemma af Sollertinsky

Sollertinskys lemma er et udsagn om projektiv geometri .

Lad være et vilkårligt punkt og være en projektiv transformation. Så er sættet af skæringspunkter og , hvor er linjen der går igennem , er keglen der går gennem punkterne og $P$ $f$ $l$ $f(l)$ $l$ $P$ $P$ $f(P).$

Bevis

Lad , , være linjerne , der går gennem punktet , , , være skæringspunkterne og , og , og . Fem punkter , , , , definerer en kegleformet , desuden den eneste. Lad det andet skæringspunkt for linjen, der går igennem , med denne kegle, , og skæringspunktet for linjen med denne kegle, . Så er følgende dobbeltforhold ens : . Derfor, , det vil sige, linjer og skærer på den samme kegle. På grund af vilkårligheden af valget af linje $-en$ $b$ $c$ $P$ $EN$ $B$ $C$ $-en$ $f(a)$ $b$ $f(b)$ $c$ $f(c)$ $EN$ $B$ $C$ $P$ $f(P)$ $d$ $P$ $D'$ $f(d)$ $D''$ $(A;B;C;D')=(a;b;c;d)=(f(a);f(b);f(c);f(d))=(A,B,C, D'')$ $D'=D''$ $d$ $f(d)$ $d$ alle sådanne skæringspunkter ligger på den efter behov.

Historie

Lemmaet er opkaldt efter St. Petersborg-matematikeren N. Sollertinsky, som brugte det til at bevise Sonda-sætningen i 1896 . [1] Faktisk var denne udtalelse kendt før Sollertinsky; den tilskrives også Jacob Steiner .

Særlige tilfælde og konsekvenser

Hvis det er en bevægelse af planet, der bevarer figurernes orientering, så vil den resulterende kegle være en cirkel. Dette svarer til den indskrevne vinkelsætning . $f$
Hvis - bevægelsen af flyet, ændrer orienteringen af figurerne, så vil den resulterende kegle være en ligesidet hyperbel . Dette følger af, at den beskrevne kegleform passerer gennem trekantens ortocenter , hvis og kun hvis det er en ligesidet hyperbel. $f$
Udsagnet dual til Sollertinskii-lemmaet er som følger:

Lad være en vilkårlig linje og være en projektiv transformation. Så tangerer alle linjerne , hvor et punkt ligger på , kegletangensen til linjerne og $l$ $f$ $Pf(P)$ $P$ $l$ $l$ $f(l).$

Lad lignende ligebenede trekanter , , , bygges på siderne af en vilkårlig trekant til den ydre (indre) side . Så skærer linjerne , , hinanden på et punkt, der ligger på den omskrevne hyperbel, der passerer gennem tyngdepunktet og orthocenteret , Kiepert-hyperbelen . $ABC$ $ABC'$ $ACB'$ $BCA'$ $AA'$ $BB'$ $CC'$
Hvis to trekanter er ortologe , og ortologiens centre falder sammen, så er de lovende.
- Sollertinsky brugte denne påstand i beviset for Sonds sætning.
- Det indebærer også, at hvis to trekanter er polære , så er de perspektiv.

Noter

↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometriske egenskaber af kurver af anden orden. - 2. udg., suppleret .. - M . : MTSNMO , 2011. - 148 s. - ISBN 978-5-94057-732-4 .