Hans Lemma

Hans lemma er et resultat i modulær aritmetik , der angiver, at hvis en algebraisk ligning har en simpel rod modulo et primtal , så svarer denne rod entydigt til roden af den samme ligning, taget modulo , som kan findes ved iterativ løft i potenser . Opkaldt efter Kurt Hansel . Mere generelt bruges Hensels lemma også som begrundelse for analoger til Newtons metode i komplette kommutative ringe (især i p-adiske tal ). $s$ $p^{k}$ $s$

Ordlyd

Der er mange tilsvarende formuleringer af Hans lemma.

Generel formulering

Lad være et felt komplet med hensyn til den diskrete værdiansættelse , og være ringen af hele felter (det vil sige elementer med ikke-negativ værdiansættelse). Lade være et element sådan, at , Betegne restfeltet svarende til det som . Lade være nogle polynomium med koefficienter fra . Hvis det reducerede polynomium har en simpel rod (det vil sige, der findes sådan, at og ), så er der en unik sådan, at og [1] . $K$ $v$ ${\mathcal {O}}_{K}$ $K$ $\pi \in K$ $K$ $v(\pi )=1$ $k={\mathcal {O}}_{K}/\pi$ $f(X)\in {\mathcal {O}}_{K}[X]$ ${\mathcal {O}}_{K}$ ${\overline {f))(X)\in k[X]$ $k_{0}\in k$ ${\overline {f}}(k_{0})=0$ ${\overline {f'}}(k_{0})\neq 0$ $a\in {\mathcal {O}}_{K}$ $f(a)=0$ ${\overline {a}}=k_{0}$

Alternativ formulering

I en mindre generel form er lemmaet formuleret som følger: lad være et polynomium med heltalskoefficienter (eller p-adiske heltal). Lad også og være heltal sådan at . Hvis er et heltal, sådan at $f(x)$ $m$ $k$ $0<m\leq k$ $r$

f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}\quad {\text{u}}\quad f'(r)\ikke \equiv 0{\pmod {p}},

så er der et heltal sådan $s$

f(s)\equiv 0{\pmod {p^{k+m}}}\quad {\text{u}}\quad r\equiv s{\pmod {p^{k}}}.

Desuden er tallet entydigt defineret modulo og kan udtrykkes eksplicit som $s$ ${\displaystyle p^{k+m))$

s=rf(r)\cdot a,

hvor er et heltal sådan at $-en$

a\equiv [f'(r)]^{-1}{\pmod {p^{m))}.

Det skal bemærkes, at betingelsen på grund af , også er opfyldt . ${\displaystyle f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k))))$ ${\displaystyle s\equiv r{\pmod {p^{k))))$

Eksempel

Overvej ligningen , der definerer automorfe længdetal i decimalnotation. Det kan ses som et ækvivalent system af to ligninger modulo primpotenser : ${\displaystyle x^{2}\equiv x{\pmod {10^{k))))$ $k$

{\begin{cases}x^{2}\equiv x{\pmod {2^{k}}},\\x^{2}\equiv x{\pmod {5^{k}}} \end{sager}}

Når løsningerne af ligningen er tal, der ender på , , eller . For at få løsninger til store , kan vi bruge Hansels lemma, forudsat at . $k=1$ $0$ $en$ $5$ $6$ $k$ $f(x)=x^{2}-x$

I henhold til ovenstående formler vil overgangen fra til for se sådan ud: $p^{k}$ ${\displaystyle p^{k+m))$ $m\leq k$

{\textstyle s=r-(r^{2}-r)\cdot (2r-1)^{-1}={\frac {r^{2}}{2r-1}}{\pmod {p ^{k+m}}}.}

Se også

Minkowski-Hasse teorem

Noter

↑ Serge Lang, Algebraic Number Theory , Addison-Wesley Publishing Company, 1970, s. 43

Litteratur

Eisenbud, David (1995), Kommutativ algebra , vol. 150, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94269-8
Milne, J. G. (1980), Étale cohomology , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7