Gauss' lemma om geodætik

Gauss' geodætiske lemma siger, at enhver tilstrækkelig lille sfære centreret i et punkt på en Riemann-manifold er vinkelret på hver geodætisk gennem et punkt.

Lemmaet bruges til at bevise, at geodætik er de lokale korteste kurver , og er af fundamental betydning i studiet af geodætisk konveksitet og normale koordinater .

Ordlyd

Lad betegne tangentrummet ved et punkt i Riemannmanifolden og være det eksponentielle kort . Bemærk, at for enhver vektor kan tangentrummet til tangentrummet identificeres med selve tangentrummet . $T_{p}$ $s$ $(M,g)$ $\exp _{p}\colon T_{p}\to M$ $x\in T_{p}$ $T_{x}T_{p}$ $T_{p}$

For evt $x,v\in T_{p}$

g((d_{x}\exp _{p})(v),(d_{x}\exp _{p})(x))=\langle v,x\rangle ,

hvor angiver differentialet for den eksponentielle afbildning. ${\displaystyle d_{x}\exp _{p}\colon T_{p}=T_{x}T_{p}\to T_{\exp _{p}x))$

Gauss' lemma om geodætik

Ordlyd

Links