Hurwitz stabilitetskriterium

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. oktober 2021; checks kræver 6 redigeringer .

Hurwitz stabilitetskriteriet er en af måderne til at analysere et lineært stationært dynamisk system for stabilitet , udviklet af den tyske matematiker Adolf Hurwitz . Sammen med Routh-kriteriet er det en repræsentant for familien af algebraiske stabilitetskriterier, i modsætning til frekvenskriterier, såsom Nyquist-Mikhailov stabilitetskriteriet . Fordelen ved metoden er dens grundlæggende enkelhed, ulempen er behovet for at udføre operationen med at beregne determinanten, som er forbundet med visse beregningsmæssige finesser (for eksempel for store matricer kan der forekomme en betydelig beregningsfejl).

Ordlyd

Metoden arbejder med koefficienterne for systemets karakteristiske ligning . Lad være systemets overførselsfunktion og lad være systemets karakteristiske ligning. Vi repræsenterer det karakteristiske polynomium i formen $W(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}$ $\ U(s)=0$ $\ U(s)$

{\displaystyle \ U(s)=a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+...+a_{n))

hvor er et komplekst argument. $s$

Ud fra koefficienterne for den karakteristiske ligning er Hurwitz- determinanten konstrueret i henhold til algoritmen : $\Delta$

langs hoveddiagonalen, fra venstre mod højre, er alle koefficienterne for den karakteristiske ligning fra til sat ; ${\displaystyle \a_{1))$ ${\displaystyle \a_{n))$
fra hvert element i diagonalen op og ned udfyldes kolonner af determinanten, så indeksene falder fra top til bund;
nuller sættes i stedet for koefficienter med indeks mindre end nul eller større . $\n$

Dimensionen af Hurwitz-matricen er bestemt af den maksimale effekt ved s i den karakteristiske ligning (det vil sige n ).

Eller eksplicit [1]

$\Delta ={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&\ldots &0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&\ldots &0\\0&a_{ 1}&a_{3}&\ldots &0\\0&a_{0}&a_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &a_{n}\end{vmatrix}}$

Så ifølge Hurwitz-kriteriet :

For at det dynamiske system skal være stabilt, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at alle de vigtigste diagonale mindreårige af Hurwitz- determinanten er positive, forudsat at . Disse mindreårige kaldes Hurwitz-determinanter. $\n$ $a_{0}>0$

(Et eksempel på Hurwitz-determinanten for den karakteristiske ligning af femte grad.)

Vi har en karakteristisk ligning af femte grad :. Hurwitz-determinanterne vil se sådan ud: $\ U(s)=a_{0}s^{5}+a_{1}s^{4}+a_{2}s^{3}+a_{3}s^{2}+a_ {4}s+a_{5}$

$\Delta _{5}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&0&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&0&0\\0&a_{1} &a_{3}&a_{5}&0\\0&a_{0}&a_{2}&a_{4}&0\\0&0&a_{1}&a_{3}&a_{5}\end{vmatrix}}$ , , , og . For stabiliteten af et dynamisk system er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at alle fem determinanter er positive. $\Delta _{4}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&0\\0&a_{1} &a_{3}&a_{5}\\0&a_{0}&a_{2}&a_{4}\end{vmatrix}}$ $\Delta _{3}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}\\a_{0}&a_{2}&a_{4}\\0&a_{1}&a_{ 3}\end{vmatrix}}$ $\Delta _{2}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\a_{0}&a_{2}\end{vmatrix}}$ $\Delta _{1}={\begin{vmatrix}a_{1}\end{vmatrix}}$

Ved at analysere tilstanden af Hurwitz-kriteriet kan man bemærke dets redundans. Antallet af uligheder kan halveres ved hjælp af Liénard-Schipar-sætningen . Men i beregningsmæssig henseende falder kompleksiteten af kriteriet ikke væsentligt, da det ved beregning af en højordens mindreårig oftest er nødvendigt at beregne mindreårige af lavere orden.

Fordele og ulemper

Ulempen ved Hurwitz-kriteriet er dets lave sigtbarhed. Fordel - praktisk til implementering på en computer. Det bruges ofte til at bestemme indflydelsen af en af ACS-parametrene på dens stabilitet. Så ligheden mellem hoveddeterminanten og nul indikerer, at systemet er på grænsen af stabilitet. I dette tilfælde, enten - under de øvrige forhold, er systemet på grænsen til aperiodisk stabilitet, eller den næstsidste mindreårige - hvis alle andre mindreårige er positive, er systemet på grænsen til oscillerende stabilitet. Parametrene for ACS bestemmer værdierne af koefficienterne for dynamikkens ligning, derfor påvirker en ændring i enhver parameter værdien af determinanten . Ved at undersøge denne påvirkning kan man finde ved hvilken værdi determinanten bliver lig med nul, og derefter negativ. Dette vil være grænseværdien for den parameter, der undersøges, hvorefter systemet bliver ustabilt. $\Delta _{n}=\Delta _{n-1}=0$ $\Delta _{n}=0$ $\Delta _{n-1}=0$ $K_{i}$ $\Delta _{n-1}$ $K_{i}$ $\Delta _{n-1}$

Om spørgsmålet om at automatisere metoden

Hurwitz-metoden er ret praktisk til at bestemme stabiliteten af links ved hjælp af en computer. I dette tilfælde skal det dog tages i betragtning, at anvendelsen af kriteriet for systemer med en ordre højere end 5 kan føre til væsentlige fejl, da beregningen af højordensdeterminanter er en ret kompliceret operation og fører til akkumulering af regnefejl.

Nedenfor er et eksempel på automatisering af metodens arbejde ved hjælp af et af de mest almindelige sprog til tekniske beregninger MATLAB version 5.3 med dens syntaks.

Funktionen nedenfor udfører alle de nødvendige beregninger. For at virke skal den placeres i en tekstfil med filtypen .m og et navn, der matcher navnet på selve funktionen, i dette tilfælde skal filnavnet være raus_gur.m .

funktion [Ust, Mnrs, Mtrx] = raus_gur ( D ) % Bestemmelse af systemstabilitet ved Routh-Hurwitz-metoden, givet ved % hjælp af den næste overførselsfunktion. % %B(er) % W(s) = ----, %D(er) % % Her er D(s) et karakteristisk polynomium. % % D(s) = a0*s^n + a1*s^(n-1) + a2*s^(n-2) + ... + an % % a0, a1, a2, ..., an - koefficienter for polynomiet D. % % % Kaldning af RAUS_GUR-funktionen kan gøres på to måder: % % Metode 1. % %[Ust, Mnrs, Mtrx] = raus_gur(D); % % inputparametre: %D - vektor af nævnerkoefficienter (karakteristisk polynomium) % % output parametre: % ust - en strengværdi, der angiver, om systemet er stabilt eller ustabilt % % Mnrs - vektor af mindreårige værdier fra mindste til største, %, der skal beregnes for at vurdere stabilitet ved Routh-Hurwitz-metoden. % Ifølge Routh-Hurwitz-metoden er systemet stabilt, hvis alle mindreårige er positive. % Beregninger af værdien af det ydre mol giver ikke mening, da dets tegn % vil altid matche fortegnet for den foregående mol. % % Mtrx er den fulde Routh-Hurwitz matrix for det givne polynomium. % % Metode 2. % %[Ust, Mnrs, Mtrx] = raus_gur(W); % % inputparametre: %W - LTI-klasseobjekt (se beskrivelse af kontrolsystemværktøjskasse) % % Outputparametrene er de samme som ovenfor. % % % Fokuseret på at arbejde i MATLAB 2022a version hvis isa ( D , 'tf' ) [ ~ , D ]= tfdata ( D , 'v' ); ende n = længde ( D ) -2 ; _ Dr =[ D nuller ( 1 , n )]; A = flipud ( omform ( Dr , 2 ,[])); Mtrx = cell2mat ( arrayfun (@( x )( circshift ( A ' , x )) ' ,( 0 : n / 2 ) ' , "UniformOutput" , false )); Mnrs = cell2mat ( arrayfun (@( x ) det ( Mtrx ( 1 : x , 1 : x )),( 2 : n ) ' , "UniformOutput" , false )); Z = '' ; hvis nogen ( Mnrs < 0 ) Z = 'ikke' ; ende Ust =[ 'system' , Z , 'stabil' ]; ende

Eksempel

Lad overførselsfunktionen være givet:

$\operatorname {W} (s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {5\cdot s+4}{{{s}^{5}} +16\cdot {{s}^{4}}+95\cdot {{s}^{3}}+260\cdot {{s}^{2}}+324\cdot s+144}}$

Så ville opkaldet til ovenstående funktion se sådan ud:

format kortG

[A, B, C] = raus_gur([1 16 95 260 324 144])
Og resultatet af beregningen:
A =

'systemet er stabilt'

1260

2.4696e+05

6.3504e+07

16 260 144 0 0

1 95 324 0 0

0 16 260 144 0

0 1 95 324 0

0 0 16 260 144

0 0 1 95 324

A rapporterer, at systemet er stabilt.

Vektor B indeholder værdier af diagonale determinanter fra 2x2 til 4x4, det første element har ingen værdi, og værdien af den ydre determinant vil altid have samme fortegn som den forrige. Ifølge Hurwitz-metoden skal alle disse determinanter være positive for at systemet skal være stabilt.

Matrixen C er selve Hurwitz-determinanten.

Denne funktion kan bruges i matematiske pakker, der har en syntaks svarende til MATLAB eller efter en lille ændring.

Systemet er på grænsen til aperiodisk stabilitet, hvis . Systemet er på grænsen til oscillerende stabilitet, hvis Hurwitz-determinanten med indeks (n-1) er lig med 0. $a_{n}=0$

Se også

Noter

↑ Gantmakher F. R. Matrix Theory. - 5. udg. - M. : Fizmatlit, 2010. - S. 463. - 560 s. - ISBN 978-5-9221-0524-8 .

Litteratur

Chetaev N. G. Bevægelsesstabilitet. - M: Nauka, 1965. - 234 s.