Kriterium for tegn

I matematisk statistik bruges fortegnstesten, når man tester nulhypotesen om ligheden af medianen til en given værdi (for én prøve) eller om ligheden af medianen af forskellen til nul (for to relaterede prøver ). [1] Dette er en ikke-parametrisk test , hvilket betyder, at den ikke bruger nogen data om fordelingens art og kan anvendes i en lang række situationer, men den kan have mindre kraft end mere specialiserede test.

Beskrivelse af metoden for to prøver

Overvej to kontinuerligt fordelte stokastiske variable X og Y , og lad nulhypotesen være opfyldt, det vil sige, at medianen af deres forskel er nul. Så . Med andre ord er det lige sandsynligt, at hver af de tilfældige variable er større end den anden. $p=\mathbb {P} (X>Y)=0,5$

Overvej et par forbundne prøver . Vi antager, at der ikke er nogen elementer i prøven, som (ellers fjerner vi disse elementer fra prøven). Lad os bygge statistik , der svarer til antallet af elementer i prøven, for hvilke . Når nulhypotesen er opfyldt, har denne værdi en binomialfordeling : . $\{(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n})\}$ ${\displaystyle x_{i}=y_{i))$ ${\displaystyle x_{i}>y_{i))$ $w\sim B(n,0.5)$

For at anvende kriteriet er det nødvendigt at beregne "venstre hale" af binomialfordelingen op til w : . Ifølge kriteriet, på signifikansniveau : ${\displaystyle b=2^{-n}\sum _{i=0}^{w}C_{n}^{i))$ $\alfa$

vs. tosidet alternativ hypotese $p\neq 0.5$

hvis , så er nulhypotesen forkastet;

b\ikke \i \venstre[\alpha /2,\,1-\alpha /2\right]

imod alternativet $p<0,5$

hvis , så er nulhypotesen forkastet;

b<\alpha

imod alternativet $p>0,5$

hvis , så er nulhypotesen forkastet;

b>1-\alpha

Problemeksempel

Den første prøve er værdierne af nogle karakteristika for patientens tilstand, registreret før behandling. Den anden prøve er værdierne af den samme karakteristik af tilstanden for de samme patienter, der er registreret efter behandling.

Rækkefølgen af elementer (i dette tilfælde patienter) i prøverne og prøvestørrelserne skal stemme overens. Sådanne prøver kaldes linkede .

Det er påkrævet at finde ud af, om behandlingen er effektiv, det vil sige om der er væsentlig forskel på patienternes tilstand før og efter behandling, eller om forskellene er rent tilfældige.

Der gives to prøver af samme længde . $x^{n}=(x_{1},\ldots,x_{n}),\;x_{i}\in \mathbb {R} ;\;\;y^{n}=(y_ {1},\ldots ,y_{n}),\;y_{i}\in \mathbb {R}$

Yderligere gæt:

begge prøver er enkle ;
prøverne er forbundet, det vil sige, at elementerne svarer til det samme objekt, men målingerne blev taget på forskellige tidspunkter (for eksempel før og efter behandling). ${\displaystyle x_{i},\,y_{i))$

Nulhypotese . $H_{0}:\;\mathbb {P} \{x>y\}=1/2$

Hvis der er tilfælde i stikprøven , skal de udelukkes fra prøven ved at reducere antallet af observationer. Teststatistikken er antallet w af elementer i stikprøven, for hvilke . ${\displaystyle x_{i}=y_{i))$ ${\displaystyle x_{i}>y_{i))$

Kriterium for tegn

Beskrivelse af metoden for to prøver

Problemeksempel

Links