Kurtosis koefficient

Kurtosiskoefficienten (spidshedskoefficienten) i sandsynlighedsteori er et mål for skarpheden af toppen af fordelingen af en stokastisk variabel.

Definition

Lad en stokastisk variabel gives sådan, at . Lad betegner det fjerde centrale moment : , og er standardafvigelsen . Så er kurtosis-koefficienten givet ved formlen: $x$ ${\mathbb {E}}|X|^{4}<\infty$ $\mu_{4}$ $\mu _{4}={\mathbb {E}}\venstre[(X-{\mathbb {E}}X)^{4}\right]$ $\sigma ={\sqrt {{\mathrm {D}}[X]}}$ $x$

\gamma _{2}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}-3

Bemærk

"Minus tre" i slutningen af formlen introduceres, så kurtosiskoefficienten for standardnormalfordelingen er lig med nul. Det er positivt, hvis toppen af fordelingen nær den forventede værdi er skarp, og negativ, hvis toppen er meget jævn.

Egenskaber for kurtosis-koefficienten

$\gamma _{2}\i [-2,\infty )$ .
Lade være uafhængige stokastiske variable med lige stor varians . Lad . Derefter $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $Y=\sum \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}$

\gamma _{{2,Y}}={\frac {1}{n^{2}}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}\gamma _{{2,X_{ jeg}}}

hvor er kurtosis-koefficienterne for de tilsvarende stokastiske variable. $\gamma _{{2,Y}},\gamma _{{2,X_{i}}},\;i=1,\ldots ,n$

Se også

Momenter af en tilfældig variabel .