Mål koncentration

Målekoncentration er det princip, hvorefter værdien af en funktion af et stort antal variable under visse ret generelle og ikke for byrdefulde restriktioner er næsten konstant [1] . For eksempel er de fleste par af punkter på en højdimensionel enhedssfære i en afstand tæt på hinanden. ${\tfrac {\pi }{2}}$

Målkoncentrationsprincippet er baseret på ideen fra Paul Levy . Det blev udforsket i begyndelsen af 1970'erne af Vitaly Milman i hans arbejde med den lokale teori om Banach-rum . Dette princip blev videreudviklet i værker af Milman og Gromov , Moret, Pisier , Shekhtman, Talagran , Ledoux og andre.

Grundlæggende definitioner

Lade være et metrisk rum med sandsynlighedsmål . Lade $(X,d,\mu )$ $\mu$

\alpha (\varepsilon )=\sup \left\{\,\mu (X\setminus A_{\varepsilon })\midt \mu (A)\geqslant 1/2\,\right\},

hvor

{\displaystyle A_{\varepsilon }=\venstre\{\,x\mid d(x,A)<\varepsilon \,\right\))

er et -kvarter af sættet . $\varepsilon$ $EN$

Funktionen kaldes rumprofilen . $\alfa$ $x$

Uformelt set vil et rum opfylde målekoncentrationsprincippet, hvis dets profil falder hurtigt som . $x$ $\alpha (\varepsilon )$ $\varepsilon$

Mere formelt kaldes en familie af metriske rum med mål for en Levy-familie, hvis følgende gælder for de tilsvarende profiler : $(X_{n},d_{n},\mu _{n})$ $\alpha_{n}$

\forall \varepsilon >0\quad \alpha _{n}(\varepsilon )\to 0\quad {\text{at))\quad n\to \infty .

Hvis mere end det

\forall \varepsilon >0\quad \alpha _{n}(\varepsilon )\leq C\cdot \exp(-c\cdot n\cdot \varepsilon ^{2})

for nogle konstanter kaldes sekvensen en normal Levi-familie . $c,C>0$ $(X_{n},d_{n},\mu _{n})$

Noter

Følgende profildefinition er ækvivalent: $\alfa$ $\alpha (\varepsilon )=\sup \left\{\,\mu (\{\,F\geq \mathop {M} +\varepsilon \,\})\,\right\},$

hvor den mindste øvre grænse over alle 1-Lipschitz funktioner og medianen bestemt af følgende par uligheder

F\colon \,X\to \mathbb {R}

M

F

\mu \{\,F\geq M\,\}\geqslant 1/2,\quad \mu \{\,F\leq M\,\}\geqslant 1/2.

Koncentration af et mål på en kugle

Det første eksempel går tilbage til Paul Levy . Ifølge den sfæriske isoperimetriske ulighed er det sfæriske segment blandt alle delmængder af en kugle med et givet sfærisk mål $EN$ ${\mathbb {S}}^{n}$ $\sigma _{n}(A)$

B(x_{0},R)_{\mathbb {S} ^{n))=\venstre\{\,x\in \mathbb {S} ^{n}\midt \mathrm {dist} (x,x_{0})\leqslant R\,\right\}

for enhver har den mindste -kvarter for enhver fast . $R$ $\varepsilon$ ${\displaystyle A_{\varepsilon ))$ $\varepsilon >0$

Ved at anvende denne observation for et homogent sandsynlighedsmål på og et sæt således , at vi opnår følgende ulighed: $\sigma _{n}$ ${\mathbb {S}}^{n}$ $EN$ $\sigma _{n}(A)=1/2$

\sigma _{n}(A_{\varepsilon })\geqslant 1-C\cdot \exp(-c\cdot n\cdot \varepsilon ^{2}),

hvor er universelle konstanter. Derfor er sekvensen en normal Lévy-familie , og målekoncentrationsprincippet gælder for denne sekvens af rum. $C,c$ $X_{n}=\mathbb {S} ^{n}$

Ansøgninger

Antag, angiver mængden af alle konvekse polygoner i enhedsfirkanten med hjørner i -gitteret . Så, for små, ligger de fleste polygoner fra tæt på et konveks sæt . ${\mathcal {P}}_{\varepsilon }$ $\varepsilon$ $(\varepsilon \cdot \mathbb {Z} )^{2}$ $\varepsilon >0$ ${\mathcal {P}}_{\varepsilon }$ $L$
- Mere præcist beskrives det ved uligheden [2] $L$
${\sqrt {1-|x|}}+{\sqrt {1-|y|}}\geq 1.$
Lille forvrængning Lemma
Dvoretskys teorem

Se også

Martingale Dubai

Noter

↑ Michel Talagrand, A New Look at Independence, The Annals of Probability, 1996, Vol. 24, nr. 1, 1-34
↑ Barany, Imre. "Grænseformen af konvekse gitterpolygoner." Discrete & Computational Geometry 13.1 (1995): 279-295.

Yderligere læsning

Ledoux, Michel. Målekoncentrationsfænomenet (neopr.) . - American Mathematical Society, 2001. - ISBN 0-8218-2864-9 .
A. A. Giannopoulos, V. Milman, Concentration property on probability spaces , Advances in Mathematics 156 (2000), 77-106.