Slut på topologisk rum
Enden af et topologisk rum er groft sagt en sammenhængende komponent af dets "ideelle grænse". Det vil sige, at hver ende er en måde at bevæge sig mod det uendelige i rummet.
Tilføjelse af et punkt i hver ende resulterer i en komprimering af det oprindelige rum, kendt som en endelig komprimering .
Definition
Lad X være et topologisk rum og lad
er en stigende sekvens af kompakte delmængder i X , hvis indre dækker X . Så har X én ende for hver sekvens
,
hvor hver U n er en forbundet komponent af komplementet X \ K n .
Det er let at bevise, at antallet af ender ikke afhænger af en bestemt rækkefølge { K n } af kompakte sæt.
Eksempler
- Kompakt plads har ingen ende.
- En reel linje har to ender, ∞ og −∞.
- Euklidisk rum for n > 1 har kun én ende. Dette skyldes, at der kun er én ubegrænset komponent for ethvert kompakt sæt K .
- Desuden, hvis M er en kompakt manifold med grænse , så er antallet af ender af dets indre lig med antallet af forbundne komponenter af grænsen af M .
- Foreningen af n stråler, der udgår fra oprindelsen ved, har n ender.
- Et uendeligt komplet binært træ har et utalligt antal ender. Disse ender kan ses som "kronen" af et uendeligt træ. I en endelig komprimering er sættet af ender homøomorf til Cantor-sættet .
Historie
Begrebet afslutningen på et topologisk rum blev introduceret af Hans Freudenthal i 1931.
Variationer og generaliseringer
Definitionen af en ende, der er givet ovenfor, gælder kun for rum X , der kan udtømmes af kompakte genstande. Det kan dog generaliseres som følger: lad X være et hvilket som helst topologisk rum, overvej et direkte system { K } af kompakte delmængder i X med inklusionsafbildninger. Overvej det tilsvarende inverse system af forbundne komponenter af komplementer { π 0 ( X \ K )}. Så er mængden af ender i X defineret som den omvendte grænse for dette omvendte system.
Links
- Diestel, Reinhard & Kühn, Daniela (2003), Graph-theoretical versus topological ends of graphs , Journal of Combinatorial Theory , Series B vol. 87 (1): 197–206 , DOI 10.1016/S0095-8956(02)000344 .
- Freudenthal, Hans (1931), Über die Enden topologischer Räume und Gruppen , Mathematische Zeitschrift (Springer Berlin / Heidelberg) . — T. 33: 692–713, ISSN 0025-5874 , DOI 10.1007/BF01174375
- Ross Geoghegan, Topologiske metoder i gruppeteori , GTM-243 (2008), Springer ISBN 978-0-387-74611-1 .
- Peter Scott, Terry Wall, Topologiske metoder i gruppeteori , London Math. soc. Lecture Note Ser., 36, Cambridge Univ. Press (1979) 137-203.