Overensstemmelsen

Kongruens er en ækvivalensrelation på et algebraisk system , der bevares under grundlæggende operationer. Konceptet spiller en vigtig rolle i universel algebra : enhver kongruens genererer et tilsvarende faktorsystem - en opdeling af det oprindelige algebraiske system i ækvivalensklasser med hensyn til kongruensen.

Definition

En relation på et sæt kaldes stabil med hensyn til -ær operation defineret på dette sæt, hvis for nogle elementer ( ) i sættet følger sandheden af relationen ( ) af sandheden af relationen . $\theta(x_1, \ldots, x_m)$ $EN$ $n$ $f$ $a_{i1}, \ldots, a_{im}$ $i = 1, \ldots, n$ $EN$ $\theta(a_{i1}, \ldots, a_{im})$ $i = 1, \ldots, n$ $\theta(f(a_{11}, \ldots, a_{n1}), \ldots, f(a_{1m}, \ldots, a_{nm}))$

En relation kaldes en kongruens på et algebraisk system, hvis det er stabilt med hensyn til hver hovedoperation af systemet . (Med denne definition afhænger begrebet kongruens ikke af systemets underliggende relationer .) $\theta$ $\mathfrak A$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {A}}$

Faktorsystem

For et algebraisk system på et kvotientsæt introduceres naturligt ved kongruens for alle operationer og relationer , operationer og relationer over de tilsvarende cosets: $\mathfrak A = (A, \mathit\Phi, \mathit\Rho)$ $A / \theta$ $\theta \subseteq A^2$ $f_i \in \mathit\Phi$ $r_i \in \mathit\Rho$

f_i^\star ([a_1]_\theta, \dots, [a_n]_\theta) = [f_i(a_1, \dots, a_n)]_\theta

r_i^\stjerne ([a_1]_\theta, \dots, [a_m]_\theta) \Leftrightarrow \exists(b_1\in[a_1]_\theta, \dots, b_m\in[a_m]_\theta) r_i(b_1, \prikker, b_m)

Det resulterende system betegnes og kaldes et faktorsystem, og kortet defineret af reglen kaldes en kanonisk epimorfi . $\mathfrak{A} / \theta$ $h_\theta \colon \mathfrak{A} \to \mathfrak{A} / \theta$ $h_\theta(a) = [a]_\theta$

Sættet af alle kongruenser i dette system danner et komplet gitter med hensyn til unions- og skæringsoperationerne og definerer også inklusionsrelationen: $\mathrm{Con}(\mathfrak{A})$

\theta_1 \leqslant \theta_2 \Leftrightarrow \forall a, b \in A \, a \,\theta_1\, b \to a \,\theta_2 \, b

For ethvert sæt af kongruenser af et givet algebraisk system gælder følgende resultat ( Remaks sætning ): et faktorsystem over skæringspunktet mellem et sæt kongruenser indlejres i et direkte produkt af faktorsystemer over hver af sættets kongruenser: $\{\theta_i, i \in I\} \subseteq \mathrm{Con}(\mathfrak{A})$

\mathcal{A} / \bigcap_{i \in I}{\theta_i} \hookrightarrow \prod_{i \in I}{\mathfrak{A} / \theta_i}

Litteratur

Artamonov V. A. . Kapitel VI. Universal Algebraer // Generel Algebra / Udg. udg. L. A. Skonyakova . - M . : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. - 480 s. — (Matematisk referencebibliotek). — 25.000 eksemplarer. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Maltsev, A. I. Algebraiske systemer. — M .: Nauka , 1970. — 392 s. - 17.500 eksemplarer.