Kovarians

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 13. april 2022; checks kræver 7 redigeringer .

Kovarians eller korrelationsmoment for stokastiske variable - i sandsynlighedsteori og matematisk statistik , et mål for afhængigheden af to stokastiske variable . $\mathrm {cov} (X,Y)$

I sandsynlighedsteori og statistik er kovarians et mål for den fælles variabilitet af to stokastiske variable. Hvis store værdier af en variabel for det meste svarer til store værdier af en anden variabel, og det samme gælder for mindre værdier (det vil sige, at variablerne har en tendens til at udvise den samme adfærd), er kovariansen positiv. modsat tilfælde, når store værdier af en variabel for det meste svarer til mindre værdier af den anden (dvs. variablerne har en tendens til at vise modsat adfærd), er kovariansen negativ. Kovariansens fortegn viser således tendensen til en lineær sammenhæng mellem variable. Værdien af kovariansen er ikke let at fortolke, fordi den ikke er normaliseret og derfor afhænger af variablernes værdier. Imidlertid viser den normaliserede version af kovariansen, korrelationskoefficienten, ved sin værdi styrken af det lineære forhold.

Definition

Lad være to stokastiske variable defineret på samme sandsynlighedsrum . Derefter er deres kovarians defineret som følger: $X,Y$

{\mathrm {cov}}(X,Y)={\mathbb {M}}\venstre[(X-{\mathbb {M}}X)(Y-{\mathbb {M}}Y)\right]

hvor er den matematiske forventning (i den engelsksprogede litteratur accepteres betegnelsen ). ${\mathbb {M}}$ ${\mathbb {E}}$

Det antages, at alle matematiske forventninger på højre side af dette udtryk er defineret. ${\mathbb {M}}$

Bemærkninger

Hvis , det vil sige, har et endeligt andet moment , så er kovariansen defineret og endelig. $X,Y\i L^{2}$
I et Hilbert-rum af upartiske stokastiske variable med et endeligt andet moment har kovariansen form og spiller rollen som et indre produkt . $L_{0}^{2}\equiv \{X\in L^{2}\mid {\mathbb {M}}X=0\}$ ${\mathrm {cov}}(X,Y)={\mathbb {M}}[XY]$

Eksempel på kovarianskoefficient

Lad være en prøve af volumen , være en prøve af volumen, og de er genereret af tilfældige variable defineret på samme sandsynlighedsrum . Så er prøvens kovarianskoefficient gennemsnitsværdien af produkterne af afvigelser af værdier fra gennemsnitsværdierne for de tilsvarende prøver [1] : ${\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n))$ $x$ $n$ ${\displaystyle Y_{1},Y_{2},...,Y_{n))$ $Y$ $n$

${\overline {s}}_{XY}=\mathrm {cov} (X,Y)={1 \over n}\sum _{t=1}^{n}\left(X_{t }-{\overline {X}}\right)\left(Y_{t}-{\overline {Y}}\right)$ ,

hvor prøvemiddelværdierne (også kaldet prøvemiddelværdier) bestemmes af formlerne:

{\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n}X_{t}

{\overline {Y}}={\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n}Y_{t}

Hvis du åbner parenteserne og bruger formlen for prøvegennemsnittet, så:

$\mathrm {cov} (X,Y)={\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n}X_{t}Y_{t}-\venstre({\ frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n}X_{t}\right)\left({\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{ n}Y_{t}\right)={\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n}X_{t}Y_{t}-{\overline {X}}{\ overline {Y}}$ .

Egenskaber

Hvis er uafhængige stokastiske variable, så $X,Y$ ${\mathrm {cov}}(X,Y)=0$ .
Men det omvendte udsagn er generelt set ikke sandt: uafhængighed følger ikke af fraværet af kovarians. Eksempel: Lad en stokastisk variabel tage værdier , hver med en sandsynlighed . Derefter vil den tage værdierne −1, 0 og 1, hver med sandsynlighed , og . Så men $Z$ $0,{\frac {\pi }{2)),\pi$ ${\frac 13}$ $\cos{Z}$ ${\frac 13}$ $P(\sin {Z}=1)={\frac 13},P(\sin {Z}=0)={\frac 23},P(\sin {Z}=-1)=0$ ${\mathrm {cov}}(\sin {Z},\cos {Z})=0$ $0=P(\sin {Z}=1,\cos {Z}=1)\neq P(\cos {Z}=1)P(\sin {Z}=1)={\frac 19}$
Kovariansen af en tilfældig variabel med sig selv er lig med variansen :. ${\mathrm {cov}}(X,X)={\mathrm {D}}[X]$
Kovariansen er symmetrisk: ${\mathrm {cov}}(X,Y)={\mathrm {cov}}(Y,X)$ .
På grund af den matematiske forventnings linearitet kan kovariansen skrives som ${\mathrm {cov}}(X,Y)={\mathbb {M}}\venstre[XY-X{\mathbb {M}}YY{\mathbb {M}}X+{\mathbb {M}}X {\mathbb {M}}Y\right]=$
$\;=\mathbb {M} \left[XY\right]-\mathbb {M} X\mathbb {M} Y-\mathbb {M} X\mathbb {M} Y+\mathbb {M} X \mathbb {M} Y=$
$\;=\mathbb {M} \left[XY\right]-\mathbb {M} X\mathbb {M} Y$ .
Lad tilfældige variable og være deres to vilkårlige lineære kombinationer . Derefter $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $Y_{1}=\sum \limits _{{i=1}}^{n}a_{i}X_{i},\;Y_{2}=\sum \limits _{{j=1}}^ {m}b_{j}X_{j}$ ${\mathrm {cov}}(Y_{1},Y_{2})=\sum \limits _{{i=1}}^{n}\sum \limits _{{j=1}}^{m }a_{i}b_{j}{\mathrm {cov}}(X_{i},X_{j})$ .

Især er kovariansen (i modsætning til korrelationskoefficienten ) ikke invariant under reskalering, hvilket ikke altid er praktisk i applikationer.

Hvis og er tal, så $\alfa$ $\beta$ ${\mathrm {cov}}(X+\alpha ,Y+\beta )={\mathrm {cov}}(X,Y)$ .
Cauchy-Bunyakovsky-ulighed : hvis vi tager kovariansen som skalarproduktet af to tilfældige variable , så vil kvadratet af normen for den tilfældige variabel være lig med variansen , og Cauchy-Bunyakovsky-uligheden vil blive skrevet som: $\langle X,Y\rangle =\mathrm {cov} (X,Y)$ $\|X\|^{2}={\mathrm {D}}[X]$ ${\mathrm {cov}}^{2}(X,Y)\leqslant {\mathrm {D}}[X]\cdot {\mathrm {D}}[Y]$ .

Korrelationskoefficient

Ud fra den absolutte værdi af kovariansen kan man ikke bedømme, hvor stærkt værdierne er indbyrdes forbundne , da kovariansens skala afhænger af deres varians . Værdien af kovarians kan normaliseres ved at dividere den med produktet af standardafvigelser (kvadratrødder af varians) af tilfældige variable. Den resulterende værdi kaldes Pearson-korrelationskoefficienten , som altid er i området fra -1 til 1: $\mathbf {r} (X,Y)$

{\displaystyle \mathbf {r} (X,Y)={\frac {\mathrm {cov} (X,Y)}{\sigma _{X}\sigma _{Y))))

, hvor er standardafvigelsen.

\sigma

Henholdsvis,

{\displaystyle \mathrm {cov} (X,Y)=\mathbf {r} (X,Y)\cdot \sigma _{X}\sigma _{Y))

[2] .

Tilfældige variable, der har nul kovarians, kaldes ukorrelerede . Uafhængige stokastiske variable er altid ukorrelerede. Den omvendte påstand er ikke altid sand. Den er gyldig for normalfordelte stokastiske variable.

Se også

Kovariansmatricen er en generalisering af begrebet kovarians for vektorer af tilfældige variable
Korrelation
Varians af en tilfældig variabel

Noter

↑ Melnikov R.M. Økonometri. Tutorial
↑ Korrelationskoefficient . Hentet 8. december 2011. Arkiveret fra originalen 17. december 2011. (ubestemt)