Kontinuum kinematik

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 29. september 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Kinematik af et kontinuert medium (fra andet græsk κίνημα - bevægelse) er et afsnit af kinematik , der studerer bevægelsen af et kontinuerligt medium (modeller af en deformerbar krop, væske eller gas), uden at gå ind i årsagerne, der forårsager det. På grund af bevægelsens relativitet er det obligatorisk at angive den referenceramme , som bevægelsen er beskrevet i forhold til.

Kontinuumsmodellen

Modellen opererer med konceptet om et elementært volumen , som er lille i forhold til problemets karakteristiske størrelse, men hvor der er mange partikler (atomer, molekyler osv.), der interagerer med hinanden. Den gennemsnitlige frie vej (den gennemsnitlige afstand, som en partikel rejser mellem kollisioner) bør være meget mindre end den karakteristiske størrelse . En sådan model kan beskrives ved partikler af et kontinuert medium - elementære volumener af et kontinuert medium, hvor karakteristikaene af et kontinuert medium (et sæt partikler af det pågældende objekt) kan betragtes som konstante. $dV$ $dV$

Lagrangian og Eulers tilgange til at beskrive kontinuum

For at identificere partiklerne i et kontinuerligt medium er det nødvendigt at nummerere dem. På grund af rummets tredimensionalitet bruges tre variable . Sådanne identifikationsparametre for mediets partikler kaldes lagrangiske (eller materiale) koordinater . Som lagrangiske koordinater kan man for eksempel vælge de kartesiske koordinater for partikler på et tidspunkt . Generelt kan metoden til "nummerering" af mediets partikler være vilkårlig. $(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3})$ $\tau$

Koordinaterne for miljøets punkter i det rumlige koordinatsystem kaldes Euler (eller rumlige) koordinater . Løsningen på problemet med kinematik af et kontinuert medium er at etablere koordinaterne for en materialepartikel til enhver tid, det vil sige at finde funktioner eller funktioner , der forbinder hver partikel med dens position i tiden. $(x_1,x_2,x_3)$ $(x_1,x_2,x_3)$ $(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3})$ ${\displaystyle x_{i}=f(t,\xi _{j}|_{j=1,2,3}){\Big |}_{i=1,2,3))$ ${\displaystyle \xi _{i}=g(t,x_{j}|_{j=1,2,3}){\Big |}_{i=1,2,3))$

Enhver funktion, der beskriver egenskaberne af partikler i et kontinuerligt medium ( tæthed , temperatur , acceleration , osv.) kan defineres som en funktion af lagrangiske koordinater ( lagrangiske tilgang ) eller en funktion af Euler-koordinater ( euleriske tilgang ). $\rho (t,\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3})$ $\rho (t,x_{1},x_{2},x_{3})=\lim _{\Delta V\to 0}{\frac {\Delta M(\cdot )}{\Delta V}}$

For enhver funktion i Euler-variabler , $f(t,x_{1},x_{2},x_{3})$

{\displaystyle {\frac {df}{dt))={\frac {\partial f}{\partial t))+v_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1))} +v_{2}{\frac {\partial f}{\partial x_{2))}+v_{3}{\frac {\partial f}{\partial x_{3))))

En partikels bane er stedet for dens positioner til enhver tid. En partikels bane bestemmes af bevægelsesloven

En strømlinje på et tidspunkt er en kurve, hvis tangentretning i hvert punkt falder sammen med retningen af et kontinuerligt mediums hastighedsvektor på det tidspunkt. Strømlinjerne bestemmes ud fra ligningerne $\tau$ ${\vec {v}}(t,x_{1},x_{2},x_{3})$

{\frac {dx_{1}}{v_{1}(\tau ,x_{i})}}={\frac {dx_{2}}{v_{2}(\tau ,x_{i })}}={\frac {dx_{3}}{v_{3}(\tau ,x_{i})}}{\Bigg |}_{i=1,2,3}

Cauchy-Helmholtz formel

Cauchy-Helmholtz-formlen relaterer hastigheden af mediets partikler ved et punkt beliggende i et lille kvarter på et eller andet punkt, hvis hastigheden af partiklerne ved punktet er kendt . $EN$ $O(x_{1},x_{2},x_{3})$ $O$

{\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{O}+{\hat {E}}\,{\vec {r}}+{\frac {1} {2}}(\nabla \times {\vec {v}})\times {\vec {r}}

hvor er spændingshastighedstensoren , a er den lille belastningstensor , og er hvirvelvektoren. ${\hat {E}}=(e_{ij})$ ${\hat {\varepsilon }}=(e_{ij}\,dt)$ ${\frac {1}{2}}\nabla \times {\vec {v}}={\vec {\omega }}$

Bevis

Punktet er repræsenteret som $EN$

A(x_{1}+\Delta x_{1},x_{2}+\Delta x_{2},x_{3}+\Delta x_{3})

I en lineær tilnærmelse

v_{i}(t,{\vec {x}}_{O}+\Delta {\vec {x}})-v_{i}(t,{\vec {x}}_{O })={\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{2}}} \Delta x_{2}+{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{3}}}\Delta x_{3}{\Bigg |}_{i=1,2,3}

, eller via nabla-operatøren : .

\Delta v_{i}(t,{\vec {x}}_{O})={\vec {r}}\cdot \nabla v_{i}{\Big |}_{i=1 ,2,3}

\left({\vec {r}}={\overrightarrow {OA}}\right)

Flytning af et punkt har relativt formen , fra ovenstående eller koordinatmæssigt $EN$ $O$ $d{\vec {r}}=({\vec {v}}_{A}-{\vec {v}}_{O})dt$ $d{\vec {r}}=({\vec {r}}\nabla ){\vec {v}}\,dt$

dr_{i}=\sum _{j=1,2,3}\left({\frac {\partial v_{i)){\partial r_{j))}\cdot r_{j}\ højre)dt{\Bigg |}_{i=1,2,3}

Kan omskrives

dr_{i}=\sum _{j}(e_{ij}r_{j}+f_{ij}r_{j})dt

hvor

e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{i}}{\partial r_{j}}}+{\frac {\partial v_{ j}}{\partial r_{i}}}}\right)

, en .

f_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{i}}{r_{j}}}-{\frac {\partial v_{j} }{\partial r_{i}}}}\right)

Efter konvertering

\sum _{j}f_{ij}r_{j}=\venstre[{\frac {1}{2))(\nabla \times {\vec {v)))\times {\vec { r}}\right]_{i}{\Bigg |}_{i=1,2,3}

Det viser sig, at Cauchy-Helmholtz-formlen:

d{\vec {r}}={\hat {E}}\,{\vec {r}}\,dt+\left({\frac {1}{2}}(\nabla \times { \vec {v)))\ gange {\vec {r}}\right)dt

Således, eller for hastigheder: . $d{\vec {r}}_{A}=d{\vec {r}}_{O}+{\hat {E}}\,{\vec {r}}\,dt+\venstre ({\frac {1}{2}}(\nabla \times {\vec {v)))\times {\vec {r}}\right)dt$ ${\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{O}+{\hat {E}}\,{\vec {r}}+{\frac {1} {2}}(\nabla \times {\vec {v}})\times {\vec {r}}$

Ren deformation

Tilfældet med ren deformation opstår i fravær af den roterende del af bevægelsen . I hovedkoordinatsystemet (i de tilsvarende hovedakser) gælder det: $(\nabla \times {\vec {v}}=0)$

{\hat {\varepsilon }}={\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}&0&0\\0&\varepsilon _{2}&0\\0&0&\varepsilon _{3}\end{pmatrix}}

Ifølge Cauchy-Helmholtz-formlen . $d{\vec {r}}=\varepsilon _{1}r_{1}{\vec {e}}_{1}+\varepsilon _{2}r_{2}{\vec {e} }_{2}+\varepsilon _{3}r_{3}{\vec {e}}_{3}$

I tilfælde af ren deformation passerer punkterne på en lille partikel af et kontinuerligt medium, der i øjeblikket ligger på radiussfæren , ud over i en ellipsoide , kaldet deformationellipsoiden . Punkterne af en partikel af et kontinuerligt medium, der ligger på deformationsakserne, vil efter deformation forblive på de samme akser og kun opleve en forskydning langs dem. $t$ $-en$ $\left(\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}+\xi _{3}^{2}=a^{2}\right)$ $dt$

Længden af ellipsoidens hovedakser er beskrevet ved rødder . ${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3))$ $a^{2}={\frac {R^{2}}{1-2e_{1}\,dt)),\;b^{2}={\frac {R^{2}} {1-2e_{2}\,dt)),\;c^{2}={\frac {R^{2}}{1-2e_{3}\,dt}}$

Homogen deformation

I det tilfælde, hvor , som bestemmer den rene deformation og rotation af partiklen er konstant, kaldes deformationen homogen. ${\hat {E)),\;{\vec {\omega }}$

For ensartet deformation:

Punkter af mediet, der ligger på et plan eller på en ret linje, forbliver efter deformation henholdsvis på et bestemt plan eller på en ret linje;
Retningen af hoveddeformationsakserne for ethvert punkt på mediet vil være de samme;
Hvis det på et tidspunkt er det samme på alle punkter af mediet, så er det i dette øjeblik det samme på alle punkter af mediet. ${\hat {E}}$ $\vec\omega$

Konsistenstilstand

Per definition har disse tensorer kun 6 forskellige komponenter. Disse 6 komponenter er stadig ikke uafhængige, da de er udtrykt i form af tre hastighedskomponenter . I kraft af afhængighed opfylder de relationerne, som kaldes Saint-Venant-kompatibilitetsbetingelserne: ${\displaystyle e_{ij}=e_{ji))$ $(v_{1},v_{2},v_{3})$

{\frac {\partial ^{2}e_{ij)){\partial x_{k}\partial x_{l))}={\frac {\partial ^{2}e_{kl)){ \partial x_{i}\partial x_{j))}={\frac {\partial ^{2}e_{kj)){\partial x_{i}\partial x_{l))}={\frac { \partial ^{2}e_{il}}{\partial x_{k}\partial x_{j}}}{\Bigg |}_{i,j,k,l=1,2,3}

Af disse 81 ligninger er kun 6 uafhængige.

Litteratur

Forelæsninger om kontinuummekanik, M. E. Eglit, Foredrag 1, 7-11
Kontinuummekanik, L. I. Sedov, bind 1, kapitel 2