Semiklassisk tilnærmelse

Den semiklassiske tilnærmelse , også kendt som WKB-metoden ( Wentzel - Kramers - Brillouin ), er det mest berømte eksempel på en semiklassisk beregning inden for kvantemekanik , hvor bølgefunktionen er repræsenteret som en eksponentiel funktion, semiklassisk udvidet, og derefter enten amplitude eller fasen ændres langsomt. Denne metode er opkaldt efter fysikerne G. Wentzel , H.A. Kramers og L. Brillouin , som udviklede denne metode i 1926 uafhængigt af hinanden. I 1923 matematikeren Harold Jeffreyudviklet en generel metode til den omtrentlige løsning af andenordens lineære differentialligninger, som også omfatter løsningen af Schrödinger-ligningen . Men da Schrödinger-ligningen dukkede op to år senere, kendte både Wentzel og Kramers og Brillouin åbenbart ikke dette tidligere arbejde.

I en vis forstand, historisk set, gik den semiklassiske tilnærmelse forud for WKB-metoden og begrebet bølgefunktionen generelt: den såkaldte. Den " gamle kvanteteori " studerede det samme begrænsende tilfælde empirisk i 1900-1925.

Konklusion

Startende med den endimensionelle stationære Schrödinger-ligning:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)= E/Psi(x)

som kan omskrives som

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right )\Psi(x)

vi repræsenterer bølgefunktionen som en eksponentiel funktion af en anden ukendt funktion Φ

\Psi (x)=e^{{\Phi (x)))

Φ skal opfylde ligningen

\Phi ''(x)+\left[\Phi '(x)\right]^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\ ret)

hvor betyder den afledte af med hensyn til x . Vi opdeler i reelle og imaginære dele ved at introducere de reelle funktioner A og B : $\Phi '$ $\Phi$ $\Phi '(x)$

\Phi '(x)=A(x)+iB(x)

Så er amplituden af bølgefunktionen , og fasen er . To ligninger følger af Schrödinger-ligningen, som disse funktioner skal opfylde: ${\displaystyle e^{\int ^{x}A(x')dx'))$ ${\displaystyle {\int ^{x}B(x')dx'))$

A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right )\;

B'(x)+2A(x)B(x)=0.\;

Vi ønsker at overveje den semiklassiske tilnærmelse for at løse disse ligninger. Det betyder, at vi vil udvide hver funktion som en potensserie . Ud fra ligningerne kan vi se, at potensrækken skal starte med udtrykket for at tilfredsstille den reelle del af ligningen. Men da vi har brug for en god klassisk grænse, ønsker vi også at starte udvidelsen med så høj en kraft af Plancks konstant som muligt. $\hbar$ $\hbar ^{{-1}}$

A(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{{i=0}}^{\infty }\hbar ^{i}A_{i}(x)

B(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{{i=0}}^{\infty }\hbar ^{i}B_{i}(x)

Op til den første ekspansionsrækkefølge kan ligningerne skrives i formen

A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\venstre(V(x)-E\højre)

A_{0}(x)B_{0}(x)=0

Hvis amplituden ændrer sig svagere end fasen, så kan vi sætte og få $A_{0}(x)=0$

B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(EV(x)\right)}}

Dette er kun sandt, hvis den samlede energi er større end den potentielle energi. Efter lignende beregninger for den næste lillehedsorden får vi

\Psi (x)\ca. C{\frac {e^{{i\int dx{\sqrt ({\frac {2m}{\hbar ^{2))}\left(EV(x)\right)} }+\theta ))}{{\sqrt[ {4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2))}\left(EV(x)\right)))))

På den anden side, hvis fasen ændrer sig langsomt i forhold til amplituden, sætter vi og får $B_{0}(x)=0$

A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)))

Dette er sandt, hvis den potentielle energi er større end den samlede. For den næste rækkefølge af smålighed, får vi

\Psi (x)\ca. {\frac {C_{{+}}e^{{+\int dx{\sqrt ({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\venstre(V(x) )-E\right)))))+C_{{-}}e^{{-\int dx{\sqrt ({\frac {2m}{\hbar ^{2))}\venstre(V(x) )-E\right)}}}}}{{\sqrt[ {4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right))) ) }}

Det er indlysende, at begge disse omtrentlige løsninger på grund af nævneren divergerer nær det klassiske vendepunkt, hvor u ikke kan være korrekt. Vi har omtrentlige løsninger langt fra den potentielle barriere og under den potentielle bakke. Langt fra den potentielle barriere opfører partiklerne sig som en fri bølge – fasen svinger. Under den potentielle barriere gennemgår partiklen eksponentielle ændringer i amplitude. $E=V(x)$

For fuldstændigt at løse problemet, skal vi finde omtrentlige løsninger overalt og sidestille koefficienterne for at lave en global omtrentlig løsning. Vi skal stadig tilnærme løsningen omkring de klassiske vendepunkter.

Lad os betegne det klassiske vendepunkt . Tæt på , kan udvides i en række. $x_{1}$ $E=V(x_{1})$ ${\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\venstre(V(x)-E\højre)$

{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}(x-x_{1})+U_{2}(x-x_{ 1})^{2}+\cdots

For den første ordre får vi

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=U_{1}(x-x_{1})\Psi (x)

Dens løsning nær vendepunkterne er som følger:

\Psi (x)={\sqrt {x-x_{1}}}\venstre(C_{{+{\frac {1}{3}}}}J_{{+{\frac {1}{3} ))}\venstre({\frac {2}{3}}{\sqrt {U_{1}}}(x-x_{1})^{{{\frac {1}{3}}}}\ højre)+C_{{-{\frac {1}{3))))J_{{-{\frac {1}{3))))\venstre({\frac {2}{3)){\ sqrt {U_{1}}}(x-x_{1})^{{{\frac {1}{3}}}}\right)\right)

Ved at bruge asymptotikken i denne løsning kan vi finde forholdet mellem og : $C,\theta$ $C_{{+}},C_{{-}}$

C_{{+}}={\frac {1}{2}}C\cos {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}

C_{{-}}=-C\sin {\left(\theta -{\frac {\pi}{4}}\right)}

Hvilket fuldender konstruktionen af den globale løsning.

Litteratur

Pokrovsky VL kvasiklassisk tilnærmelse. Arkiveret 16. juni 2011 på Wayback Machine // Physical Encyclopedia. - T. 2. - M .: SE, 1990. - S. 252-255.
WKB metode. Arkiveret 15. marts 2012 på Wayback Machine // Physical Encyclopedia. - T. 1. - M .: SE, 1988. - S. 285.
Freman H., Freman P. W. WKB-tilnærmelse. - M . : Mir, 1967. - 166 s.
Maslov VP, Fedoryuk MV Semiklassisk tilnærmelse til kvantemekanikkens ligninger. — M .: Nauka, 1976. — 296 s.