Kvasi-konveks funktion
Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den
version , der blev gennemgået den 19. marts 2017; checks kræver
3 redigeringer .
En kvasi-konveks funktion er en generalisering af begrebet en konveks funktion , som har fundet bred anvendelse i ikke- lineær optimering , især ved anvendelse af optimering til økonomi .
Definition
Lad X være en konveks delmængde af . En funktion kaldes kvasi-konveks eller unimodal, hvis følgende ulighed gælder for vilkårlige elementer og :
![{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/669fa4832da4b0b229d77eadb270e95188f2eb10)
![{\displaystyle x,y\in X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d72f66ab332ed430aa9b34ff18c9723c4fea2a1)
![{\displaystyle \lambda \in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/010c0ee88963a09590dd07393d288edd83786b91)
Hvis også:
for og så siges funktionen at være strengt kvasi-konveks .
![{\displaystyle x\neq y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f51b711ca7f932963cdb268b0817dc72d6258733)
![{\displaystyle \lambda \in(0,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f17279bd1146846540229cfca8a2fd9bed8b8bcb)
En funktion kaldes kvasi- konkav (strengt kvasi-konkav), hvis den er kvasi-konveks (strengt kvasi-konveks).
![{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/669fa4832da4b0b229d77eadb270e95188f2eb10)
![{\displaystyle -f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0edfedee3fca0a26dd6f515e7ed9517a4e2cd04)
På samme måde er en funktion kvasi-konkav if
og strengt kvasi-konkav hvis
En funktion, der er både kvasi-konveks og kvasi-konkav, kaldes kvasi -lineær .
Eksempler
- En vilkårlig konveks funktion er kvasi-konveks, en vilkårlig konkav funktion er kvasi-konkav.
- Funktionen er kvasi-lineær på mængden af positive reelle tal .
![{\displaystyle f(x)=\ln x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e75b5f02e93730d64d3b72fe9db2e0be096cf3a)
- Funktionen er kvasi-konkav på mængden (sættet af par af ikke-negative tal), men er hverken konveks eller konkav.
![{\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}x_{2))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1564091a126efa137e7faa6c91ac69adcd5553f)
![{\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc7d986e9e061be94134919a006d0758ee73bff9)
- Funktionen er kvasi-konveks og er hverken konveks eller kontinuerlig .
![{\displaystyle x\mapsto \lfloor x\rfloor }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f3b60078378682c77f591f9e387cbea7151dbe8)
Egenskaber
- Funktionen , hvor er en konveks mængde , er quasi-konveks hvis og kun hvis for hele mængden
![{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/669fa4832da4b0b229d77eadb270e95188f2eb10)
![{\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23a6b446fb9736703b3fe09ff010de5ef2e75f38)
![{\displaystyle \beta \in \mathbb {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6a3a2f5bc2d4e8b49a63cdeb8f20706681ed5cf)
konveks
Bevis. Lad sættet være konveks for enhver β. Vi fikser to vilkårlige punkter og betragter punktet Points at . Da mængden er konveks, er , og derfor, det vil sige, uligheden givet i definitionen opfyldt, og funktionen er kvasi-konveks.
![{\displaystyle X_{\beta ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36658fcff95d879db60a621991903affe80e810e)
![x_1, x_2\in X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76d4c89c2ce9c73010afa018f789e0fcad31c1ad)
![{\displaystyle x=\lambda x_{1}+(1-\lambda )x_{2},\quad \lambda \in (0,1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5521b649327074f06b24a0446a17cc0cac8a7ba)
![{\displaystyle x_{1},x_{2}\in X_{\beta ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca7e0aae28a181a473973da8188190f9c3ba8141)
![{\displaystyle \beta =\max\{f(x_{1}),f(x_{2})\))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e33fd8e9ed81ef91719a9ce5653e70a0f13e7e2a)
![{\displaystyle X_{\beta ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36658fcff95d879db60a621991903affe80e810e)
![{\displaystyle \;x\in X_{\beta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43aadd2dd442dbce87844f45a42d5cc072f98ea2)
![{\displaystyle f(x)\leqslant \beta =max\{f(x_{1}),f(x_{2})\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c38b0240bfc5b4560fea685d9e3839939f27e3d)
Lad funktionen f være kvasi-konveks. For nogle fikser vi vilkårlige punkter derefter . Da X er en konveks mængde, så for ethvert punkt . Det følger af definitionen af kvasi-konveksitet , at dvs. Otzhe, er et konveks sæt.
![{\displaystyle \beta \in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33b33a167a556c5f643b7053261072ccef00c2e6)
![{\displaystyle x_{1},x_{2}\in X_{\beta }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42efeb67b0ef6a46906bac264ad8f054f4a0acb9)
![{\displaystyle \max\{f(x_{1}),f(x_{2})\}\leqslant \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fffc8a4db3d768a4f72a39639e9ea8e9b4bbec36)
![{\displaystyle \lambda \in(0,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f17279bd1146846540229cfca8a2fd9bed8b8bcb)
![{\displaystyle x=\lambda x_{1}+(1-\lambda )x_{2}\in X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b3844a78736394c2ab7142973c4d3f43d7906e1)
![{\displaystyle f(x)\leqslant max\{f(x_{1}),f(x_{2})\}\leqslant \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af3274ef5ff649980180be01bd58dc010b3b5b4b)
![{\displaystyle x\in X_{\beta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71104bf83ce7f4a7573f3fbfa99c7b489afab5fc)
- En kontinuerlig funktion , hvor X er en konveks sat i , er kvasi-konveks, hvis og kun hvis en af følgende betingelser er opfyldt:
![{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/669fa4832da4b0b229d77eadb270e95188f2eb10)
![\mathbb {R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc)
- f er ikke-faldende;
- f - ikke-stigende;
- der er et punkt sådan, at funktionen f for alle er ikke-stigende, og for alle er funktionen f ikke-faldende.
![{\displaystyle c\in X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20a6fd8987f71d0e8b6f844f05339748989a1267)
![{\displaystyle t\in X,t\leqslant c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/642791a3400861c61f2a0d6c5f874f76cac10bd7)
![{\displaystyle t\in X,t\geqslant c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/673f86f527dbf659fb7fd451b10fc41101060f75)
Differentierbare kvasi-konvekse funktioner
![{\displaystyle f(y)\leqslant f(x)\Rightarrow \left\langle f^{'}(x),yx\right\rangle \leqslant 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/539fd084d4811cd95dccd3cfeec94c7a058f129e)
for alle .
- Lad f være en to gange differentierbar funktion. Hvis f er kvasi-konveks på X, er følgende betingelse opfyldt:
![{\displaystyle \left\langle f^{'}(x),y\right\rangle =0\Rightarrow \left\langle f^{''}(x)y,y\right\rangle \geqslant 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/305ab3897892a024e285c29591e646ad2e71d61c)
for alle .
Så er udsagnene sande:
- Hvis funktionen f er kvasi-konveks på en mængde X , så er D n (x) ≤ 0 for alle n og alle x fra X .
- Hvis funktionen f er kvasi-konkav på mængden X , så er D 1 (x) ≤ 0, D 2 (x) ≥ 0, …, (-1) m D m (x) ≤ 0 for alle x med X .
- Hvis D n (x) ≤ 0 for alle n og alle x med X , så er funktionen f kvasi-konveks på mængden X .
- Hvis D 1 (x) ≤ 0, D 2 (x) ≥ 0, …, (-1) m D m (x) ≤ 0 for alle x med X , er funktionen f kvasi-konkav på mængden X .
Operationer, der bevarer kvasi-konveksitet
- Det maksimale af vægtede kvasi-konvekse funktioner med ikke-negative vægte, dvs.
![{\displaystyle f=\max \left\lbrace w_{1}f_{1},\ldots ,w_{n}f_{n}\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/226ad3661a5c1c636f8b74d9afb5932b982ee021)
hvor
- en sammensætning med en ikke-aftagende funktion (hvis er kvasi-konveks, er ikke-aftagende, så er den kvasi-konveks).
![{\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdd0676a3fc6d7adae5f265a8b398fd3d96cd587)
![{\displaystyle h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7132bad98312911aeb02354f0c9038ffc1704591)
![{\displaystyle f=h\circ g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8bf9ecaafec0e79beaba94302aa824e2c7de682)
- minimering (hvis f(x, y) er kvasi-konveks, C er en konveks mængde, så er den kvasi-konveks).
![{\displaystyle h(x)=\inf _{y\in C}f(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b53c3acd719c4cd7b62f73b0af885fd08de0fff9)
Links
Litteratur
- Alpha C Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, tredje udgave, McGraw Hill Book Company, 1984.