Tangent vektor

En tangentvektor er et element af tangentrum , for eksempel et element i en tangentlinje til en kurve, et tangentplan til en overflade og så videre.

Tangent vektor til kurve

Lad funktionen være defineret i et eller andet område af punktet og være differentierbar i det: . $f\kolon U(x_{0})\delsæt {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $x_{0}\in {\mathbb {R}}$ $f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$

En tangentvektor til en graf for en funktion i et punkt er en vektor med komponenter $f$ $x_{0}$

${\vec {e}}={\frac {1}{\sqrt {1+f'(x_{0})^{2))))\cdot {\vec {e}}_{x }+{\frac {f'(x_{0})}{\sqrt {1+f'(x_{0})^{2))))\cdot {\vec {e}}_{y}$ .
Hvis en funktion har en uendelig afledet i et punkt, så er tangentvektoren $f$ $x_{0}$ $f'(x_{0})=\pm \infty ,$ ${\vec {e}}={\vec {e}}_{y}$ .

Generel definition

En tangentvektor til en glat manifold i et punkt er en operator , der tildeler et tal til hver glatte funktion og har følgende egenskaber: $M$ $p\in M$ $x$ $f\colon M\to \mathbb {R}$ $xf$

additivitet: $X(f+h)=Xf+Xh,$
Leibniz' regel : $X(fh)=(Xf)\cdot h(p)+f(p)\cdot (Xh).$

Sættet af alle sådanne operatorer i et punkt har den naturlige struktur af et lineært rum, nemlig: $s$

(X+Y)f=Xf+Yf;

(k\cdot X)f=k\cdot (Xf),\ \forall k\in \mathbb {R}

Samlingen af alle tangentvektorer i et punkt danner et vektorrum , som kaldes tangentrummet i et punkt . Samlingen af alle tangentvektorer i alle punkter af manifolden danner et vektorbundt , som kaldes et tangentbundt . $s$ $s$

Tangent vektor som stiækvivalensklasse

Begrebet en tangentvektor til en manifold i et punkt generaliserer begrebet en tangentvektor til en jævn bane i rummet R n . Lad en jævn sti gives i R n : ${\displaystyle \mathbf {f} \colon [0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{n))$

\mathbf {f} (t)=f_{1}(t)\mathbf {e} _{1}+f_{2}(t)\mathbf {e} _{2}+\dots +f_ {n}(t)\mathbf {e} _{n}

Så er der en enkelt retlinet og ensartet sti , der berører den på tidspunktet t 0 : $\mathbf {l} (t)$

\mathbf {l} (t)=\mathbf {f} (t_{0})+(t-t_{0})\left({\partial f_{1} \over \partial t}(t_ {0})\mathbf {e} _{1}+{\partial f_{2} \over \partial t}(t_{0})\mathbf {e} _{2}+\dots +{\partial f_ {n} \over \partial t}(t_{0})\mathbf {e} _{n}\right)

At røre to stier og betyder at ; tangensrelationen af stier i et punkt er en ækvivalensrelation . Tangentvektoren i punktet x 0 kan defineres som ækvivalensklassen for alle glatte baner, der passerer gennem punktet x 0 på samme tid og berører hinanden i det punkt. $\mathbf {f} _{1}(t)$ $\mathbf {f} _{2}(t)$ $\mathbf {f} _{1}(t)-\mathbf {f} _{2}(t)=o(t-t_{0})$

Tangent vektor til en undermanifold

Tangentvektoren i et punkt i en glat undermanifold af det euklidiske rum er hastighedsvektoren i et punkt på en kurve i . $s$ $M$ $s$ $M$

Med andre ord, tangentvektoren i et punkt i en undermanifold lokalt defineret parametrisk $s$

{\displaystyle r\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n))

med ,

p=r(0)\

er en vilkårlig lineær kombination af partielle afledte . ${\frac {\partial r}{\partial x_{i))}(0)$

Noter

For denne definition af en tangentvektor er det tilstrækkeligt, at undermanifolden er af glathedsklasse . $C^1$
Ifølge Whitneys indlejringsteorem tillader enhver glat n - dimensionel manifold en indlejring i . Uden at krænke strengheden kan denne definition derfor bruges til enhver glat manifold. Selvfølgelig vil det i dette tilfælde være nødvendigt at bevise definitionens uafhængighed fra indlejringen. $\mathbb{R} ^{{2n}}$

Litteratur

Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderne geometri. Metoder og anvendelser. - 2e. — M .: Nauka , 1986. — 760 s.
Zorich V. A. Matematisk analyse, bind 1,2. — M .: Nauka , 1981.
Cartan A. Differentialregning. differentielle former. — M .: Mir , 1971.