Cauchy-integralsætning

Cauchys integralsætning er et udsagn fra funktionsteorien for en kompleks variabel .

Sætning

Lad være et domæne og lad funktionen være holomorf i og kontinuerlig i lukningen af . Derefter, for nogle simpelthen forbundne domæner og for enhver lukket Jordan-kurve , forholdet $D\subset \mathbb {C}$ $f(z)$ $D$ $\overline {D}$ $A\delsæt {\mathbb C},$ $\Gamma \delsæt A$ $\oint \limits _{\Gamma }\,f(z)\,dz=0$

Bevis

Vi giver et bevis, når domænet blot er forbundet , og den afledede er kontinuert. Det følger af Cauchy-Riemann-ligningerne , at differentialformen er lukket . Lad nu være en lukket selvadskillende stykkevis-glat kontur inde i domænet af funktionen , der afgrænser domænet . Så ved Stokes-sætningen har vi: $D$ $f$ $f(z)\,dz$ $\Gamma$ $f(z)$ $D$

\int \limits _{{\Gamma }}f(z)\,dz=\int \limits _{{\partial D}}f(z)\,dz=\int \limits _{D}d[f (z)\,dz]=0

Generalisering

Det kan også bevises uden yderligere antagelser om kontinuiteten af derivatet. Ideen med beviset er, at det er tilstrækkeligt at fastslå eksistensen af et antiderivat af differentialformen . For at gøre dette er det tilstrækkeligt at bevise, at integralet over ethvert rektangel med sider parallelle med koordinatakserne er lig med nul. $f(z)dz$

Hvis dette integral er ikke-nul og lig med tallet , vil integralmodulet over et af rektanglerne falde med maksimalt fire, når rektanglet skæres i 4 lige store rektangler (igen med sider parallelt med koordinatakserne). Lad os skære det og fortsætte denne proces. Men den indlejrede sekvens af rektangler skal have et fælles punkt , i et tilstrækkeligt lille kvarter af hvilket . $-en$ $s$ $f(z)=f(p)+f'(p)(zp)+o(zp)$

Men integralet over et meget tæt rektangel af de to første led er lig med nul, og integralet af det sidste er for lille. Modsigelsen beviser teoremet.

Diverse

En begrænset omvendt af Cauchys sætning er Moreras sætning . En generalisering af Cauchys sætning til tilfældet med et multidimensionelt komplekst rum er Cauchy-Poincarés sætning .

Se også

Cauchy-Poincarés sætning

Litteratur

Shabat BV Introduktion til kompleks analyse. — M .: Nauka . - 1969, 577 sider.