Vinogradov integral

Vinogradov-integralet er et multipelt integral af formen

\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}\ldots \int \limits _{0}^{1}|S|^{2k}\, d\alpha _{1}\,d\alpha _{2}\ldots d\alpha _{n},

hvor

S=\sum _{1\leqslant x\leqslant P}e^{2\pi i(\alpha _{1}x+\alpha _{2}x^{2}+\ldots +\alpha _ {n}x^{n})},

som er middelværdien af effekten 2k af modulet af den trigonometriske sum. Vinogradovs teorem om værdien af dette integral, middelværdisætningen, ligger til grund for skøn over Weyl-summer . Integralet bruges til at løse problemer med analytisk talteori [1] .

Værdien af Vinogradov-integralet svarer til antallet af løsninger af følgende ligningssystem:

{\begin{cases}x_{1}+\ldots +x_{k}=y_{1}+\ldots +y_{k},\\x_{1}^{2}+\ldots +x_ {k}^{2}=y_{1}^{2}+\ldots +y_{k}^{2},\\\cdots \\x_{1}^{n}+\ldots +x_{k }^{n}=y_{1}^{n}+\ldots +y_{k}^{n}.\end{cases}}

hvor ukendte kan tage heltalsværdier fra 1 til [1] [2] . ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{k},y_{1},\ldots,y_{k))$ $P,P\geqslant 1$

Noter

↑ 1 2 V. N. Chubarikov. Asymptotiske formler for I. M. Vinogradovs integral og dets generaliseringer // Trudy Mat. Inst. Steklov. : Talteori, matematisk analyse og deres anvendelser. Samling af artikler. Dedikeret til I. M. Vinogradov, et medlem af Videnskabsakademiet i anledning af hans 90-års fødselsdag: [ eng. ] . - 1981. - T. 157. - S. 214-232.
↑ Gennady I. Arkhipov, Vladimir N. Chubarikov, Anatoly A. Karatsuba. Trigonometriske summer i talteori og -analyse . — Walter de Gruyter, 2004-01-01. - S. 80. - 565 s. — ISBN 9783110197983 .

Litteratur

Arkhipov G. I., Karatsuba A. A. Et nyt estimat for integralet af I. M. Vinogradov // Izv. USSR's Videnskabsakademi. Ser. måtte. - 1978. - Nr. 42. - S. 751-762.
Vinogradov integral // Matematisk encyklopædi. bind 1 / kap. udg. I. M. Vinogradov. — M.: Sovjetisk Encyklopædi. - 1977.
Vinogradov I. M. Metoden til trigonometriske summer i talteori. — M.: Nauka, 1971.

Ordbøger og encyklopædier	Stor russer