Invariant afledet med hensyn til tid

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 23. oktober 2021; checks kræver 6 redigeringer .

Den invariante tidsafledede er den tidsafledede af en inertiramme . I selve inertialrammen er den invariante tidsafledede simpelthen den sædvanlige tidsafledede: . I et ikke-inertialsystem består den invariante tidsafledede af summen af den sædvanlige tidsafledede og yderligere udtryk relateret til hastigheden af det ikke-inertielle system i forhold til det inertielle. Hastighedsfeltet kan være inhomogent og generelt afhænger af tiden . Så, for eksempel, i et ikke-inertielt system forbundet med et ikke-ensartet roterende hjul , er hastighedsfeltet uensartet i ${\frac {\partial }{\partial t))$ ${\frac {\partial }{\partial t))$ $V^i$ $V^{i}(x)$ $V^{i}(x,t)$ rum og tid. Da hastighedsfeltet er den relative bevægelseshastighed for koordinatsystemer, som ikke er materielle objekter, kan denne hastighed overstige lysets hastighed i størrelsesorden og endda være uendelig. I dette tilfælde er der selvfølgelig ingen modsætning til den særlige relativitetsteori (SRT). For eksempel overstiger hastighedsfeltet i et ikke-inertielt system forbundet med et roterende hjul lysets hastighed i en tilstrækkelig stor afstand fra rotationscentret og har en tendens til uendelig med længere afstand fra centrum. $V^{i}(x,t)$

Vi betegner med koordinaterne i den inertielle ramme og med koordinaterne i den ikke-inertielle ramme. Så er bevægelseshastigheden af det ikke-inertielle system i forhold til det inerti ${\bar {x}}$ $x({\bar {x)),t)$

$V^{i}(x,t)={\frac {\partial x^{i}({\bar {x)),t)}{\partial t))$

Den invariante tidsafledede af en skalar i en ikke-inertiel ramme er: $F(x,t)$

$D_{t}F(x,t)={\frac {\partial F}{\partial t))+{\frac {\partial F}{\partial x^{i))}{\frac {\partial x^{i}}{\partial t}}={\frac {\partial F}{\partial t}}+V^{i}(x,t){\frac {\partial F}{ \partial x^{i}}}$ .

Den invariante tidsafledte af tensorer har yderligere udtryk forbundet med transformationen af deres komponenter, når de flyttes fra et koordinatsystem til et andet . Så for eksempel for vektorer og covektorer har vi: ${\bar {x}}\to x({\bar {x}},t)$

$A^{i}={\frac {\partial x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{j}}}{\bar {A}}^{j}$ ;

$A_{i}={\frac {\partial {\bar {x}}^{j}}{\partial x^{i}}}{\bar {A}}_{j}$ .

Følgelig,

${\displaystyle D_{t}A^{i}={\frac {\partial A^{i}}{\partial t}}+V^{j}{\frac {\partial A^{i}}{ \partial x^{j))}-A^{j}{\frac {\partial V^{i)){\partial x^{j))))$ ;

$D_{t}A_{i}={\frac {\partial A_{i}}{\partial t}}+V^{j}{\frac {\partial A_{i}}{\partial x ^{j}}}+A_{j}{\frac {\partial V^{j}}{\partial x^{i}}}$ .

De invariante tidsderivater af højere rangerede tensorer beregnes på samme måde.

En vigtig egenskab ved den invariante tidsafledte er, at alle afledte med hensyn til rumkoordinater på højre side af ovenstående udtryk kan erstattes af kovariante afledede i overensstemmelse med rummetrikken , dvs. ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{i))))$ ${\displaystyle dl^{2}=\gamma _{ij}dx^{i}dx^{j))$

$D_{t}A^{i}=\partial _{t}A^{i}+V^{j}A_{;j}^{i}-A^{j}V_{;j} ^{i}$ ,

${\displaystyle D_{t}A_{i}=\partial _{t}A_{i}+V^{j}A_{i;j}+A_{j}V_{;i}^{j))$ ,

her ophæver vilkårene med Christoffel-forbindelser hinanden.

De ovenfor betragtede "tilføjelser" til de sædvanlige tidsafledte er Lie-variationer (eller med andre ord Lie-afledte ) af tensorfelter langs et vektorfelt , som blev studeret af den fremragende norske matematiker Sophus Lie (1842-1899). $V^i$

De velkendte centrifugal- og Coriolis - accelerationer, der forekommer i et roterende ikke-inertialsystem, er yderligere udtryk i den invariante tidsafledte af hastighedsvektoren for et bevægeligt materialepunkt.

Litteratur

D. E. Burlankov, Dynamics of space. Monografi 2005 179 s.