Isoleret sætpunkt

Et isoleret punkt i generel topologi er et punkt i et sæt, således at skæringspunktet mellem noget af dets nabolag og mængden kun består af dette punkt.

Definition

Lad et topologisk rum være givet , og en delmængde . Et punkt kaldes et isoleret punkt i mængden, hvis der er et kvarter sådan $(X,{\mathcal {T}})$ $A\delmængde X$ $x\i A$ $EN$ $U\in {\mathcal {T}}$ $U\cap A=\{x\}.$

Relaterede definitioner

Et rum, hvis hvert punkt er isoleret, er diskret .

Egenskaber

En vilkårlig funktion , hvor er et sæt med sin egen topologi, er altid kontinuerlig på et isoleret punkt . $f:A\delsæt X\til Y$ $Y$ $x$

Eksempler

Lad være sættet af reelle tal med standardtopologien. $A={\mathbb {R}}$

Hvis , så er punktet isoleret, og alle de andre er det ikke. $A=\{0\}\kop [1,2]$ $x=0$
Hvis så er ikke et isoleret punkt, men alle resten er. $A=\{0\}\kop \left\{{\frac {1}{n}}\right\}_{{n=1}}^({\infty }}\equiv \left\{0, 1,{\frac {1}{2)),{\frac {1}{3)),\ldots \right\},$ $x=0$
Sættet af naturlige tal er diskret. $\mathbb {N}$
Sættet af rationelle tal har ingen isolerede punkter. Især er den ikke diskret, selvom den kan tælles.
Der er irreducerbare polynomier i to variable f(x,y), hvis grafer (det vil sige sættet af punkter i planen, hvor f(x,y)=0) indeholder et eller flere isolerede punkter. For eksempel består grafen for funktionen y^2 = x^2*(x-1) af en kurve, der ligger i halvplanet x>1 og et isoleret punkt (0;0).

Isoleret sætpunkt

Definition

Relaterede definitioner

Egenskaber

Eksempler

Se også