Semigruppe ideel

Idealet for en halvgruppe er en delmængde af halvgruppen , der er lukket under multiplikation af elementer fra , hvor multiplikation forstås som en algebraisk operation på en halvgruppe. $I$ $S$ $S$

Definition

En ikke -tom delmængde af en halvgruppe kaldes et venstreideal , hvis: , hvor er mængden af produkter af elementer og . $I$ $S$ $S$ $SI\subset I$ $SI$ $si$ $s\i S$ $i\i I$

$I$ kaldes et retsideal , hvis :. $IS\subset I$

$I$ kaldes et tosidet ideal , hvis begge disse betingelser er opfyldt. Kaldes også bare et ideal, hvis det er et venstre- eller højreideal $I$ $S$ .

I en vilkårlig semigruppe er produktet for enhver ikke-tom undergruppe et højreideal, et venstreideal og et tosidet ideal. $S$ $R\subset S$ $RS$ $SR$ $SRS$

De trivielle idealer, som enhver semigruppe har, er sættet bestående af nul-elementet i semigruppen (hvis der er en) og hele semigruppen.

Eksempler

Sættet af lige tal danner et tosidet ideal for halvgruppen af naturlige tal med hensyn til multiplikationsoperationen . Dette følger af, at et lige tal ganget med et hvilket som helst andet vil være lige. $(\mathbb {N} ,\cdot )$

Sættet af konstante funktioner er et tosidet ideal for semigruppen af alle reelle funktioner med hensyn til kompositionsoperationen : $F$

Lade være sættet af alle konstante funktioner (det vil sige for enhver , værdien afhænger ikke af ).

C

c\in C

c(x)

x\in \mathbb {R}

For at et sæt skal være et tosidet ideal , skal det være både et venstrehåndet og et højrehåndet ideal .

C

F

F

$C$ er et venstrehåndet ideal , da $F$ $\forall f\in F,\forall c\in C:fc=f(c(x))=f(const)=const\in C$
$C$ er et højrehåndet ideal, da $\forall f\in F,\forall c\in C:cf=c(f(x))=const\Rightarrow CF\subset C$

Lade være en delmængde af alle periodiske funktioner. $S$
1. $S$ er et venstreideal med hensyn til superposition. Sættet af værdier af en periodisk funktion er en periodisk sekvens ( , hvor er perioden for funktionen), det er indlysende, at en funktion af en periodisk sekvens er en periodisk funktion: $F$ $s(x)=s(x+T)$ $T$ $f(s(x))=f(s(x+T))\Højrepil \foral f\in F,\forall s\in S:fs\subset S$
2. Men det er ikke et rigtigt ideal. For at se dette er det tilstrækkeligt at give ét eksempel, hvor der er sådanne og , at betingelsen ikke er opfyldt. Lad os tage funktionerne: , , hvis superposition vil resultere i en ikke-periodisk funktion . $S$ $f\in F$ $s\i S$ $sf\in S$ $sin(x)\in S$ $x^{2}\in F$ $sin(x^{2})$

Lade være en semigruppe af alle kvadratiske matricer af orden med hensyn til driften af multiplikation , så danner sættet bestående af matricer, hvor alle elementer i en fast kolonne er lige store , et venstre ideal. $(\mathrm {K} ,\cdot )$ $n$ $0$

Lad være mængden af alle degenererede matricer . Så - et tosidet ideal , da produktet af en degenereret matrix af enhver anden vil være en degenereret matrix. $D$ $D$ $(\mathrm {K} ,\cdot )$

Vigtigste idealer for semigrupper

Hovedidealet (venstre, højre, tosidet) i halvgruppen, der genereres af elementet,er det mindste ideal (henholdsvis venstre, højre, tosidet), der indeholder. De vigtigste venstre-, højre- og tosidede idealer kan skrives som: $S$ $\alfa$ $\alfa$

L=S\alpha \cup \alpha

R=\alpha S\cup \alpha

D=S\alpha S\kop \alpha S\kop S\alpha \kop \alpha

Hvis der er et neutralt element i semigruppen , har de vigtigste venstre, højre, tosidede idealer henholdsvis formen: $e$

L

S\alpha

R

\alpha S

D

S\alpha S

Lad os fremhæve et par hovedidealer fra eksemplerne ovenfor:

1) Sættet af lige tal er det vigtigste tosidede ideal for semigruppen . Da hvert element i sættet er repræsenteret som 2 , så er dets genererende element 2. $jeg$ $(N,\cdot )$ $jeg$ $k$

2) Det er bevist, at sættet af konstante funktioner er et tosidet ideal for semigruppen af alle reelle funktioner med hensyn til superposition. Lad os tage en konstant funktion som et genererende element. Så genererer mængden af formen mængden , da den dækker alle mulige reelle funktioner (det er tilstrækkeligt at tage mængden af funktioner af formen = + , hvor ), hvoraf det følger, at er det primære venstreideal. Men genererer ikke , og er derfor ikke et principielt rettighedsideal. $C$ $F$ $c(x)$ $Fc$ $C$ $f(x)$ $x$ $r$ $r$ $\i$ $R$ $C$ $cF$ $C$ $C$

Litteratur

E.S. Lyapin, "Semigroups", 1960