Digamma funktion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 6. december 2015; checks kræver 4 redigeringer .

I matematik er digammafunktionen defineret som den logaritmiske afledte af gammafunktionen : ${\tekststil {\psi (x)))$

\psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\Gamma (x)}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x))).

Det er en polygammafunktion af første orden, og polygammafunktioner af højere orden ( trigammafunktion osv.) opnås fra den ved differentiering.

Egenskaber

Digammafunktionen er relateret til harmoniske tal ved forholdet $\displaystyle {\psi (n)=H_{{n-1}}-\gamma },$

hvor er det n'te harmoniske tal og er Euler-Mascheroni-konstanten .

{\tekststil {H_{n))}

{\tekststil {\gamma ))

Tillægsformel ${\displaystyle \displaystyle {\psi (1-x)-\psi (x)=\pi \operatørnavn {ctg} (\pi x)))$
Tilbagevendende forhold $\psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}$
Dekomponering til en uendelig sum $\psi (x)=\ln x-{\frac {1}{2x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-2n)}{ x^{2n}}}$

hvor er Riemann zeta-funktionen .

\zeta (x)

Logaritmisk ekspansion $\psi (x)=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{{k=0}}^{n}(-1 )^{k}{\binom {n}{k}}\ln(x+k)$
Gauss sætning ${\frac {\Gamma '(p/q)}{\Gamma (p/q)))=-\gamma -\ln(2q)-{\frac {\pi }{2))\operatørnavn {ctg} \left({\frac {\pi p}{q}}\right)+2\sum _{0<n<q/2}\cos \left({\frac {2\pi pn}{ q}}\right)\ln \sin \left({\frac {\pi n}{q}}\right)$

for heltal med betingelsen .

p,q

0<p<q

For alle er udvidelser i en serie gyldige: $z\neq -1,-2,-3,\ldots$ $\psi (z+1)=-\gamma +\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {z}{n(n+z))).$

Digamma funktion

Egenskaber

Links