Heisenberg gruppe

Heisenberg -gruppen er en gruppe bestående af kvadratiske matricer af formen

{\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}},

hvor elementerne a , b , c hører til en eller anden kommutativ ring med enhed. Som sådan tages en ring R oftest:

ring af reelle tal - den såkaldte kontinuerte Heisenberg-gruppe, betegnet med , eller $R={\mathbb {R}}$ $H_{3}({\mathbb {R}})$
ring af heltal - den såkaldte diskrete Heisenberg-gruppe, betegnet med , eller $R=\mathbb{Z}$ $H_{3}({\mathbb {Z}})$
restring med primtal p — gruppen er betegnet med . $R={\mathbb {Z}}_{p}$ $H_{3}({\mathbb {Z}}_{p})$

Opkaldt efter Werner Heisenberg , der brugte gruppen i kvantemekanik: Den kontinuerlige Heisenberg-gruppe bruges til at beskrive endimensionelle kvantemekaniske systemer.

Variationer og generaliseringer

Heisenberg-gruppen generaliserer til et vilkårligt antal dimensioner. Heisenberg-gruppen består nemlig af kvadratiske matricer af orden n + 2 : $H_{{n+2}},\ n\geq 1,$

{\begin{pmatrix}1&a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}&c\\0&1&0&\dots &0&b_{1}\\0&0&\ddots &\ddots &\vdots &b_{2}\ \\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0&\vdots \\0&0&\dots &0&1&b_{n}\\0&0&\dots &\dots &0&1\\\end{pmatrix}},

elementerne tilhører en eller anden kommutativ ring med identitet. $a_{i},b_{i},c$

Den kontinuerte Heisenberg-gruppe er en forbundet, enkelt forbundet Lie-gruppe (med topologien genereret af standardtopologien ), hvis Lie-algebra (af dimension 2n+1 ) består af matricer af formen $H_{{n+2}}({\mathbb {R}})$ $\mathbb {R}$

{\begin{pmatrix}0&a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}&c\\0&0&0&\dots &0&b_{1}\\0&0&\ddots &\ddots &\vdots &b_{2}\ \\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0&\vdots \\0&0&\dots &0&0&b_{n}\\0&0&\dots &\dots &0&0\\\end{pmatrix}}.

Noter

Kirillov A.A. Elements of Representation Theory, Moskva: Nauka, 1978. Arkiveret 27. juli 2014 på Wayback Machine
Ernst Binz & Sonja Pods . Geometry of Heisenberg Groups, - American Mathematical Society , 2008, ISBN 978-0-8218-4495-3 .
Roger Evans Howe . Om Heisenberg-gruppens rolle i harmonisk analyse, Bulletin of the American Mathematical Society 1980, 3(2):821.
A.A. Kirilov . Forelæsninger om orbitmetoden (kapitel 2: Heisenberg-gruppens repræsentationer og kredsløb), - American Mathematical Society, 2004.