Grev Erdős - Diophantus

En Erdős-Diophantus graf er et sæt af punkter på et plan med heltalskoordinater, hvor afstandene imellem er heltal, og som ikke kan forlænges ved at tilføje andre punkter. Tilsvarende kan dette sæt beskrives som en komplet graf med toppunkter på et heltalsgitter , sådan at de parvise afstande mellem toppunkter er heltal, mens alle andre punkter i gitteret har en ikke-heltalsafstand til mindst ét ​​toppunkt.

Greverne af Erdős-Diophantus er opkaldt efter Pal Erdős og Diophantus af Alexandria . Grafer danner en delmængde af sættet af diofantiske figurer , som er defineret som komplette grafer på det diofantiske plan , hvor alle kanter har heltalslængder. Så er Erdős-Diophantine-graferne netop diophantiske figurer, som ikke kan forlænges. Eksistensen af ​​Erdős-Diophantine-grafer følger af Erdős-Anning-sætningen , ifølge hvilken uendelige Diophantine figurer skal være kollineære på det diofantiske plan. Derfor skal enhver proces med at udvide en ikke-kollineær diofantisk figur ved at tilføje hjørner nå et stadie, hvor figuren ikke kan forlænges.

Eksempler

Ethvert sæt af nulpunkter eller et punkt kan forlænges trivielt, og ethvert Diophant-sæt med to punkter kan forlænges med punkter på samme linje. Således kan alle Diophantine-sæt med mindre end tre punkter udvides, og derfor eksisterer Erdős-Diophantine-grafer med mindre end tre toppunkter ikke.

Ved numerisk søgning viste Koner og Kurtz [1] at Erdős-Diophantus grafer med tre hjørner eksisterer. Den mindste Erdős-Diophantus trekant har sidelængder på 2066, 1803 og 505. Den næststørste Erdős-Diophantus trekant har siderne 2549, 2307 og 1492. I begge tilfælde er summen af ​​de tre sider et lige tal. Brancheva beviste, at denne egenskab gælder for alle Erdős-Diophantus trekanter, den samlede længde af enhver lukket sti i Erdős-Diophantus grafen er altid lige.

Et eksempel på en Erdős-Diophantine-graf med fire hjørner er den komplette graf, der er dannet af hjørnerne i et rektangel med siderne 4 og 3.

Noter

1. ↑ Kohnert, Kurz, 2007 .

Litteratur

• Axel Kohnert, Sascha Kurz. En note om Erdős-Diophantine grafer og Diophantine tæpper // Mathematica Balkanica. - 2007. - T. 21 , no. 1-2 . - arXiv : math/0511705 .
• Stancho Dimiev, Krassimir Markov. Gauss-heltal og diofantiske figurer // Matematik og matematisk uddannelse. - 2002. - T. 31 . — S. 88–95 . - . - arXiv : math/0203061 .