Harmonisk fire

En harmonisk firdobling af punkter er en firdobling af punkter på en projektiv linje, hvis dobbeltforhold er . I dette tilfælde siger de også, at punkterne og er harmonisk konjugeret med hensyn til og skrive . $(ABCD)=-1$ $C$ $D$ $A,B$ $H(AB,CD)$

En harmonisk firdobling af linjer er en firdobling af linjer i det projektive plan, der passerer gennem et punkt, for hvilket enhver firdobling af punkter , som er placeret på en linje, er harmonisk. Skriv i dette tilfælde . $a,b,c,d$ $S$ $A,B,C,D$ $A\in a,B\in b,C\in c,D\in d$ $H(ab,cd)$

Egenskaber

Hvis en harmonisk fire af linjer skæres af en ret linje, dannes en harmonisk fire af punkter på denne linje.
På hver side af en komplet fire-vertex er der en harmonisk fire af punkter.[ afklare ]
På hver diagonal af en komplet fire-vertex er der en harmonisk fire af punkter.[ afklare ]
Den harmoniske quad af punkter på det komplekse plan ligger på den samme linje eller cirkel, og tangentparrene i modsatte punkter er samtidige med diagonalen.

Konstruktion

For alle tre punkter, der ligger på den samme lige linje, ved at bruge de harmoniske egenskaber for et komplet fire-vertex, kan du konstruere et fjerde punkt, så du får en harmonisk fire punkter.
I figuren ovenfor er skæringspunkterne for to par af modsatte sider ML og KN , MK og LN af den komplette firkantede MLNK (henholdsvis de to første punkter A og B på linjen), samt punkterne D og C af skæringen af henholdsvis diagonalerne LK og MN med denne linje (linie AC ), der går gennem disse punkter, danner en harmonisk fire punkter A, B, C, D .
Konstruktionen af det sidste punkt (se også figuren) er fuldstændig duplikeret af følgende sætning [1] : For et punkt K , Ceva-linjen (f.eks . LD ) af trekanten ALB og linjen MN , der forbinder baserne M og N af to andre Ceva-linjer AN og BM , divider den modsatte side AB harmonisk .

Et eksempel på en harmonisk quad af punkter

Halveringslinjerne for de indre og ydre vinkler ved det ene toppunkt af trekanten skærer siden modsat dette toppunkt og følgelig dens fortsættelse i to punkter, som sammen med de to ender af denne side danner en harmonisk fire af punkter [2 ] .
Et punkt harmonisk konjugeret til midten af en side af en trekant er i forlængelse af denne side til det uendelige [3] .

Den harmoniske firdobling på det udvidede euklidiske plan

Hvis punktet er ukorrekt , så er det firdobbelte harmonisk, hvis det er midtpunktet af segmentet . ${\displaystyle D_{\infty ))$ $A,B,C,D_{\infty }$ $C$ $AB$
Hvis er et komplet fire-hjørnepunkt, og dets diagonale punkter er ukorrekte, så er det et parallelogram på det udvidede euklidiske plan , og af dets harmoniske egenskaber følger det, at skæringspunktet for dets diagonaler halverer dem. $ABCD$ ${\displaystyle P_{\infty },Q_{\infty ))$ $ABCD$
Hvis - et komplet fire-hjørnepunkt, som har et diagonalt punkt - ukorrekt, så på det udvidede euklidiske plan - et trapez, og af dets harmoniske egenskaber følger det, at halverer . $ABCD$ $R_{\infty }=BC\cap AD$ $P=AB\cap CD,Q=AC\cap BD$ $ABCD$ $PQ$ $AD$

Noter

↑ Zetel S. I. Ny geometri af en trekant. En guide til lærere. 2. udgave. Moskva: Uchpedgiz, 1962. Sætning på s. 46, § 31.
↑ Zetel S. I. Ny geometri af en trekant. En guide til lærere. 2. udgave. Moskva: Uchpedgiz, 1962. Sætning på s. 46, § 30.
↑ Zetel S. I. Ny geometri af en trekant. En guide til lærere. 2. udgave. M.: Uchpedgiz, 1962. Opgave på s. 46, § 30.

Litteratur

Bazylev, Dunichev, Ivanitskaya. Geometri, del 2. - M . : Uddannelse, 1975.

Efimov N. V. Højere geometri. - 6. udgave - M. , 1978.

Pevzner S.L. Projektiv geometri. - M . : Uddannelse, 1980.

Postnikov M. M. Analytisk geometri. - 1973.

H. S. M. Coxeter. Ægte projektivt plan / udg. prof. A. A. Glagoleva. - M. , 1959.