Viskositetsopløsning

En viskøs opløsning er en bestemt type svag løsning til en partiel differentialligning , eller rettere en degenereret elliptisk ligning.

Definitioner

Degenereret elliptisk ligning

Partiel differentialligning

F(x,u,Du,D^{2}u)=0

givet i domænet , er degenereret elliptisk hvis for to symmetriske matricer og sådan, at deres forskel er positiv bestemt , og alle værdier af , og uligheden $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ $x$ $Y$ $YX$ $x\in \Omega$ $u\in \mathbb {R}$ $p\in \mathbb {R} ^{n}$

F(x,u,p,X)\geqslant F(x,u,p,Y).

Eksempler

Laplace ligning $-\Delta u=0$ .
Enhver første ordens ligning .

Viskøs opløsning

En øvre semikontinuerlig funktion defineret i kaldes en viskositetsunderløsning af denne ligning, hvis den følgende ulighed gælder for et hvilket som helst punkt og enhver glat funktion , såsom i et område af . $u$ $\Omega$ $x_{0}\in \Omega$ $\phi$ $\phi (x_{0})=u(x_{0})$ $\phi \geqslant u$ $x_{0}$

F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\leqslant 0.

Tilsvarende kaldes en lavere semikontinuerlig funktion defineret i en viskositetsløsning til denne ligning, hvis den følgende ulighed gælder for et hvilket som helst punkt og enhver glat funktion, således at og i nogle nabolag : $u$ $\Omega$ $x_{0}\in \Omega$ $\phi$ $\phi (x_{0})=u(x_{0})$ $\phi \leqslant u$ $x_{0}$

F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\geqslant 0.

En kontinuert funktion er en viskositetsopløsning af en degenereret elliptisk ligning, hvis det er en underopløsning og en overopløsning på samme tid. $u$

Historie

Udtrykket dukker første gang op i Crandall og Lyons arbejde i 1983 [1] for løsninger af Hamilton-Jacobi-ligningen . Definitionen blev faktisk givet af Evans tidligere i 1980. [2] Definitionen blev forfinet i det fælles arbejde af alle tre. [3]

Litteratur